הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5"
מתוך Math-Wiki
| (4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 15: | שורה 15: | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
| − | אנו יודעים כי מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי שינוי סדר הבלוקים). | + | אנו יודעים כי מטריצות הן דומות '''אם ורק אם''' יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי שינוי סדר הבלוקים). |
נחשב את צורת ג'ורדן של כל אחחת מהמטריצות הנ"ל. | נחשב את צורת ג'ורדן של כל אחחת מהמטריצות הנ"ל. | ||
| − | <math>D</math> | + | <math>D</math> היא אלכסונית, ובפרט '''כבר''' בצורת ג'ורדן. לכן, צורת ג'ורדן שלה היא |
<math>\begin{pmatrix} | <math>\begin{pmatrix} | ||
6 &0 \\ | 6 &0 \\ | ||
| שורה 26: | שורה 26: | ||
<math> | <math> | ||
| − | p_{A}(x)=\begin{vmatrix} | + | .p_{A}(x)=\begin{vmatrix} |
x-2 &-8 \\ | x-2 &-8 \\ | ||
-2&x-2 | -2&x-2 | ||
\end{vmatrix} | \end{vmatrix} | ||
| − | =(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math> | + | =(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2) |
| + | </math> | ||
| + | |||
קיבלנו שיש ל <math>A</math> שני ערכים עצמיים שונים | קיבלנו שיש ל <math>A</math> שני ערכים עצמיים שונים | ||
<math>6,-2</math>, ולכן היא לכסינה, ודומה למטריצה | <math>6,-2</math>, ולכן היא לכסינה, ודומה למטריצה | ||
| שורה 36: | שורה 38: | ||
6 &0 \\ | 6 &0 \\ | ||
0 &-2 | 0 &-2 | ||
| − | \end{pmatrix}</math>. | + | \end{pmatrix}</math>, שהיא בצורת ג'ורדן, ולכן זו צורת ג'ורדן של <math>A</math>. |
| − | <math>p_{C}(x)=\begin{vmatrix} | + | <math>,p_{C}(x)=\begin{vmatrix} |
x-2 &-4 \\ | x-2 &-4 \\ | ||
-4 &x-2 | -4 &x-2 | ||
| שורה 49: | שורה 51: | ||
\end{pmatrix}</math>. | \end{pmatrix}</math>. | ||
| − | נחשב צורת ג'ורדן של <math>B</math>: | + | נחשב את צורת ג'ורדן של <math>B</math>: |
<math>p_{B}(x)=\begin{vmatrix} | <math>p_{B}(x)=\begin{vmatrix} | ||
גרסה אחרונה מ־16:48, 28 בדצמבר 2011
אלו מבין המטריצות הבאות דומות?
אנו יודעים כי מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי שינוי סדר הבלוקים).
נחשב את צורת ג'ורדן של כל אחחת מהמטריצות הנ"ל.
היא אלכסונית, ובפרט כבר בצורת ג'ורדן. לכן, צורת ג'ורדן שלה היא
.
קיבלנו שיש ל 
שני ערכים עצמיים שונים
, ולכן היא לכסינה, ודומה למטריצה
, שהיא בצורת ג'ורדן, ולכן זו צורת ג'ורדן של .
ולכן כמו במקרה הקודם, צורת ג'ורדן של 
היא
.
נחשב את צורת ג'ורדן של 
:
כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של .
קל לראות כי 
(שכן 
)
ולכן צורת ג'ורדן של היא
בסה"כ קבלנו כי
ו אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.
