הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3"

גרסה אחרונה מ־23:46, 8 בינואר 2012

ידוע שמטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים). שתי המטריצות בשאלה כבר נתונות כסכום של בלוקי ז'ורדן:

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix} = \left( \begin{array}{cc} \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} & \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} \\ \\ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} & \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} \end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_2(0) & 0 \\ 0 & J_2(0)\end{pmatrix} = J_2(0) \oplus J_2(0),$

ואילו $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix} = \left( \begin{array}{cc} \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array} & \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \\ \\ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \end{array} & 0 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_3(0) & 0 \\ 0 & J_1(0)\end{pmatrix} = J_3(0) \oplus J_1(0),$

קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן אינן דומות.

נימוק אחר: חישוב ישיר מראה ש- $\ A^2 = 0$ בעוד ש- $\ B^2 \neq 0$ . לכן הן אינן יכולות להיות דומות.

סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים $dimkerA+dimImA=dimV$ , כאשר $V$ המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A ( $\forall v \in F^4: A(v):=A\cdot v$ )

ולכן $dimkerA=dimV-dimImA$ .

ידוע גם $rank(A)=dimImA$ =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2.

כמו כן $dimV=4$ שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב $F^4$ לעצמו.

לכן בסה"כ $dimkerA=4-2=2$ .

באופן דומה עבור $B$ , מתקיים $dimkerB+dimImB=dimV$ , ולכן $dimkerB=dimV-dimImB$ .

ידוע גם $rank(B)=dimImB$ =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2.

כמו כן $dimV=4$ שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב $F^4$ לעצמו.

לכן בסה"כ $dimkerB=4-2=2$ .

(ידוע ש-A היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה המוגדרת בעזרתה וכו' - כל זה מלינארית 1, אין צורך לפרט)

לסיכום, קיבלנו $dimkerA=dimkerB=2$ . מש"ל!

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3"

גרסה אחרונה מ־23:46, 8 בינואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-<math>A=\begin{pmatrix}
+[[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]]
+ידוע שמטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים). שתי המטריצות בשאלה כבר נתונות כסכום של בלוקי ז'ורדן:
+<math>
+A=\begin{pmatrix}
 & 1 &0  & 0\\
 & 0 &0  &0 \\
 & 0 &  0&1 \\
 & 0 &0  &0 \\
-\end{pmatrix}</math>
+\end{pmatrix} = \left(
+\begin{array}{cc}
+\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} &  \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} \\
+\\
+\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} &  \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}
+\end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_2(0) & 0 \\ 0 & J_2(0)\end{pmatrix} = J_2(0) \oplus J_2(0),
+</math>
+ואילו
+<math>B=\begin{pmatrix}
+& 1 &0  & 0\\
+& 0 &1  &0 \\
+& 0 &  0&0 \\
+& 0 &0  &0 \\
+\end{pmatrix}
+= \left(
+\begin{array}{cc}
+\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array} &  \begin{array}{c} 0 \\  0 \\ 0\end{array} \\
+\\
+\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \end{array} &  0
+\end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_3(0) & 0 \\ 0 & J_1(0)\end{pmatrix} = J_3(0) \oplus J_1(0),
+</math>
+קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן '''אינן דומות.'''
+נימוק אחר: חישוב ישיר מראה ש-<math>\ A^2 = 0</math> בעוד ש-<math>\ B^2 \neq 0</math>. לכן הן אינן יכולות להיות דומות.
+----
+סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים <math>dimkerA+dimImA=dimV</math>,
+כאשר <math>V</math> המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A (<math>\forall v \in F^4: A(v):=A\cdot v</math>)
+ולכן <math>dimkerA=dimV-dimImA</math>.
+ידוע גם <math>rank(A)=dimImA</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2.
+כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו.
+לכן בסה"כ <math>dimkerA=4-2=2</math>.
+באופן דומה עבור <math>B</math>, מתקיים <math>dimkerB+dimImB=dimV</math>, ולכן <math>dimkerB=dimV-dimImB</math>.
+ידוע גם <math>rank(B)=dimImB</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2.
+כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו.
+לכן בסה"כ <math>dimkerB=4-2=2</math>.
+(ידוע ש-A היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה המוגדרת בעזרתה וכו' - כל זה מלינארית 1, אין צורך לפרט)
-<math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix}
+לסיכום, קיבלנו <math>dimkerA=dimkerB=2</math>.
-x & -1 &0  & 0\\
+'''מש"ל!'''
-& x &0  &0 \\
-& 0 &  x&-1 \\
-& 0 &0  &x \\
-\end{vmatrix}</math>