הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה לדוגמאות *יהיו <m...") |
|||
שורה 24: | שורה 24: | ||
אכן, | אכן, | ||
− | ::<math> | + | ::<math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math> |
− | \frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_1}=\frac{ | + | |
(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן <math>\frac{a_1}{a_1}=\frac{b_1}{b_1}</math>) | (את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן <math>\frac{a_1}{a_1}=\frac{b_1}{b_1}</math>) |
גרסה מ־11:13, 21 בפברואר 2012
- יהיו טורים חיוביים כך ש .
הוכיחו כי אם מתכנס אזי גם מתכנס
הוכחה:
אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור b גדול מזה של a, ואנו יודעים שכפל על ידי קבוע שונה מאפס אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באיבר ששוה לאחד, ונקבל שהטור b גדול מהטור a:
- מתכנס,
צריך להוכיח כי
- מתכנס.
אבל קל להוכיח באינדוקציה כי
אכן,
(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן )
ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון אנו מקבלים את המשל.