88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 1/פתרון: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־08:38, 8 באפריל 2012

שאלה 1

השאלה לקוחה מתרגיל בית שהיה שנה שעברה, ולכן תוכלו למצוא את הפתרון כאן: הפתרון

שאלה 2

תסתכלו כאן: שאלה 1

הפרכה לשני הסעיפים גם יחד:

[math]\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+1 & x\in (1,2] \\ x^{2} & x\in [0,1] \end{matrix}\right. }[/math]

קל לראות שבכל חלק לפונקציה יש קדומה, אבל לפונקציה כשלעצמה אין - כי היא לא מקיימת תנאי ערך ביניים שמתקיים בכל נגזרת.

משפט דראבו (הוכחה): הוכחה בחסות Math-Wiki

שאלה 3

תסתכלו כאן: שאלה 2

שאלה 4

תסתכלו כאן: שאלה 3

נוסחא רקורסיבית מורכבת מבסיס ומנוסחאת מעבר ממקרה מסויים למקרה פשוט יותר.

במקרה זה הבסיס הינו [math]\displaystyle{ m=0 }[/math] וזהו מקרה פשוט במיוחד:

[math]\displaystyle{ I_{0}=\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} }[/math]

צעד הרקורסיה:

ניעזר באינטגרציה בחלקים, באופן הבא:

[math]\displaystyle{ du=x^{\alpha}dx \Rightarrow u=I_{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ v=ln^{m}x\Rightarrow dv=\frac{mln^{m-1}x}{x}dx }[/math]

ולכן מתקיים:

[math]\displaystyle{ I_{m}=\int x^{\alpha}ln^{m}xdx=I_{0}ln^{m}x-\int \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\cdot \frac{mln^{m-1}x}{x}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ I_{0}ln^{m}x-\frac{m}{\alpha+1}\int x^{\alpha}ln^{m-1}xdx=I_{0}ln^{m}x-\frac{m}{\alpha+1}I_{m-1} }[/math]

ומצאנו את הנוסחא המתבקשת.

שאלה 5

כל האינטגרלים בשאלה לקוחים מתרגילי בית משנים קודמות, לכן לצד כל לינק, נרשום את הסעיפים מהשאלה המקורית (מהתרגיל שלנו) שהפתרונות מופיעים בהם:

תרגיל מס' 3: הסעיפים ו' וז'

תרגיל מס' 4: הסעיפים א', ב', ג', ד', ה'

תרגיל מס' 5: הסעיפים ח', ט' וי' (האחרונים יחד).

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-לאן הגענו שסטודנטים פותרים לעצמם את שיעורי הבית?
+== שאלה 1 ==
-:לאן הגענו שסטודנטים פותרים את שיעורי הבית?
-::לאן הגענו שסטודנטים פותרים שיעורי?
+השאלה לקוחה מתרגיל בית שהיה שנה שעברה, ולכן תוכלו למצוא את הפתרון כאן: [http://math-wiki.com/images/e/e6/09Infi2sol3.pdf הפתרון]
+== שאלה 2 ==
+תסתכלו כאן: [http://math-wiki.com/images/6/69/09Infi2sol4.pdf שאלה 1]
+הפרכה לשני הסעיפים גם יחד:
+<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
+x^{2}+1 & x\in (1,2] \\
+x^{2} & x\in [0,1]
+\end{matrix}\right.</math>
+קל לראות שבכל חלק לפונקציה יש קדומה, אבל לפונקציה כשלעצמה אין - כי היא לא מקיימת תנאי ערך ביניים שמתקיים בכל נגזרת.
+'''משפט דראבו (הוכחה):''' [http://math-wiki.com/images/5/52/11dercon.pdf הוכחה בחסות Math-Wiki]
+== שאלה 3 ==
+תסתכלו כאן: [http://math-wiki.com/images/6/69/09Infi2sol4.pdf שאלה 2]
+== שאלה 4 ==
+תסתכלו כאן: [http://math-wiki.com/images/6/69/09Infi2sol4.pdf שאלה 3]
+נוסחא רקורסיבית מורכבת מבסיס ומנוסחאת מעבר ממקרה מסויים למקרה פשוט יותר.
+'''במקרה זה הבסיס הינו  <math>m=0</math> וזהו מקרה פשוט במיוחד:'''
+<math>I_{0}=\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}</math>
+'''צעד הרקורסיה:'''
+ניעזר באינטגרציה בחלקים, באופן הבא:
+<math>du=x^{\alpha}dx \Rightarrow u=I_{0}</math>
+<math>v=ln^{m}x\Rightarrow dv=\frac{mln^{m-1}x}{x}dx</math>
+ולכן מתקיים:
+<math>I_{m}=\int x^{\alpha}ln^{m}xdx=I_{0}ln^{m}x-\int \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\cdot \frac{mln^{m-1}x}{x}dx=</math>
+<math>I_{0}ln^{m}x-\frac{m}{\alpha+1}\int x^{\alpha}ln^{m-1}xdx=I_{0}ln^{m}x-\frac{m}{\alpha+1}I_{m-1}</math>
+ומצאנו את הנוסחא המתבקשת.
+== שאלה 5 ==
+כל האינטגרלים בשאלה לקוחים מתרגילי בית משנים קודמות, לכן לצד כל לינק, נרשום את הסעיפים מהשאלה המקורית (מהתרגיל שלנו) שהפתרונות מופיעים בהם:
+'''[http://math-wiki.com/images/e/e6/09Infi2sol3.pdf תרגיל מס' 3]''': הסעיפים ו' וז'
+'''[http://math-wiki.com/images/6/69/09Infi2sol4.pdf תרגיל מס' 4]''': הסעיפים א', ב', ג', ד', ה'
+'''[http://math-wiki.com/images/f/f9/09Infi2sol5.pdf תרגיל מס' 5]''': הסעיפים ח', ט' וי' (האחרונים יחד).