הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (: == 1 == == 2 == == 3 == == 4 == שאלה זו (במלואה) הופיעה ...")
 
(←‏2)
שורה 6: שורה 6:
 
== 2 ==
 
== 2 ==
  
 +
=== א ===
 +
 +
נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות):
 +
 +
<math>\int_{1}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx=\int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx+\int_{1}^{e^{2}}e^{-ln^{2}x}dx</math>
 +
 +
האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו.
 +
 +
 +
נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון:
 +
 +
ידוע כי עבור כל <math>x\geq e^{2}</math> מתקיים: <math>ln^{2}(x)\geq 2ln(x)</math>
 +
 +
ומכאן שמתקיים, <math>e^{-ln^{2}x}\leq \frac{1}{x^{2}}</math>.
 +
 +
ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל <math>\int_{e^{2}}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}</math>  מתכנס ולכן גם  <math>\int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx</math>.
 +
 +
 +
הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן '''האינטגרל מתכנס'''.
 +
 +
=== ב ===
 +
 +
השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: [http://math-wiki.com/images/d/da/09Infi2sol9.pdf ראו שאלה 7]
 +
 +
=== ג ===
 +
 +
'''האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה'''
 +
 +
<math>g(x)=cosx</math>, הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי.
 +
 +
<math>f(x)=\frac{1}{x}</math> הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0.
 +
 +
ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן.
 +
 +
=== ד ===
 +
 +
מתקיים: <math>\int_{1}^{\infty}\frac{|cosx|}{x}dx\geq\int_{1}^{\infty}\frac{cos^{2}x}{x}dx</math>, 
 +
 +
ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה'). 
 +
 +
=== ה ===
 +
 +
=== ו ===
  
 
== 3 ==
 
== 3 ==

גרסה מ־04:08, 17 במאי 2012

הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (:

תוכן עניינים

1

2

א

נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות):

\int_{1}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx=\int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx+\int_{1}^{e^{2}}e^{-ln^{2}x}dx

האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו.


נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון:

ידוע כי עבור כל x\geq e^{2} מתקיים: ln^{2}(x)\geq 2ln(x)

ומכאן שמתקיים, e^{-ln^{2}x}\leq \frac{1}{x^{2}}.

ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל \int_{e^{2}}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} מתכנס ולכן גם \int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx.


הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן האינטגרל מתכנס.

ב

השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: ראו שאלה 7

ג

האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה

g(x)=cosx, הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי.

f(x)=\frac{1}{x} הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0.

ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן.

ד

מתקיים: \int_{1}^{\infty}\frac{|cosx|}{x}dx\geq\int_{1}^{\infty}\frac{cos^{2}x}{x}dx,

ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה').

ה

ו

3

4

שאלה זו (במלואה) הופיעה בתרגיל בית קודמים: ראו פתרון לתרגיל 2

5

נתון כי f(x) פונקציה רציפה \Leftarrow יש לה פונקציה קדומה F(x)

לפי נוסחאת ניוטון-לייבניץ' מתקיים: \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

ידוע כי \int_{0}^{\infty}f(x)dx=\infty, ולכן: \lim_{x \to \infty}F(x)=\infty


לכן נוכל לכתוב את האינטגרל הלא אמיתי שאנו צריכים לחשב בצורה הבאה:

\int_{1}^{\infty}\frac{f(x)}{F(x)-F(0)}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{F'(x)}{F(x)-F(0)}dx


אך לפני שנחשב את האינטגרל עלינו להסביר מדוע בכלל ניתן לדבר עליו:

f(x) רציפה וחיובית \Leftarrow לכל a,b\in[0,\infty) מתקיים: F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx>0,

ובפרט לכל x\geq 1 מתקיים: F(x)-F(0)>0.

F(x) גזירה ולכן רציפה \Leftarrow הפונקציה F(x)-F(0) רציפה וחיובית.

מכיוון ששתי הפונקציות רציפות וF(x)-F(0) חיובית \Leftarrow הפונקציה \frac{f(x)}{F(x)-F(0)} רציפה, ולכן אינטגרבילית על כל קטע סופי על הישר.

וכאן סיימנו להראות שניתן לדבר על האינטגרל הלא אמיתי.


כעת נוכל לחשב את האינטגרל עצמו:

לטעמי נוחות בלבד נסמן: a:=F(1)-F(0)

\int_{1}^{\infty}\frac{F'(x)}{F(x)-F(0)}dx=\begin{Bmatrix} t=F(x)-F(0)\\ dt=F'(x)dx \end{Bmatrix}=\int_{a}^{\infty}\frac{dt}{t}=\lim_{b \to \infty}ln(F(b)-F(0))-ln(F(a)-F(0))=\infty

וסיימנו (:

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-133_אינפי_2_תשעב_סמסטר_ב/תרגילים/תרגיל_4/פתרון&oldid=22838