הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←חישוב ההופכי) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←חישוב ההופכי) |
||
שורה 45: | שורה 45: | ||
− | נתחיל מהמקרה <math>a,b>0</math> | + | * נתחיל מהמקרה <math>a,b>0</math> |
נניח ש <math>b>a</math>, נסמן <math>r_1=b \quad r_2 = a</math>. | נניח ש <math>b>a</math>, נסמן <math>r_1=b \quad r_2 = a</math>. | ||
שורה 90: | שורה 90: | ||
− | אם <math>b<0</math> או <math>a<0</math> אז מוצאים <math>n',m'</math> מתאימים עבור <math>|a|,|b|</math> | + | * אם <math>b<0</math> או <math>a<0</math> אז מוצאים <math>n',m'</math> מתאימים עבור <math>|a|,|b|</math> |
ואז <math>n'|a|+m'|b|=1</math> ואז | ואז <math>n'|a|+m'|b|=1</math> ואז | ||
שורה 98: | שורה 98: | ||
אם <math>b<0</math> לוקחים <math>m=-m'</math> (אחרת <math>m=m'</math>) | אם <math>b<0</math> לוקחים <math>m=-m'</math> (אחרת <math>m=m'</math>) | ||
− | + | * אם <math>a=0</math> הסיכוי היחיד ש <math>gcd(a,b)=1</math> זה אם <math>b=1</math> וזה מקרה פשוט | |
− | כנ"ל אם <math>b=0</math> | + | כנ"ל אם <math>b=0</math> |
== דוגמא == | == דוגמא == |
גרסה מ־17:49, 12 ביולי 2012
כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה (נזכור ש
חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים לפעמים לחשב הופכי לאיבר מסוים בשדה.
שיטה אחת לבצע זאת היא ע"י מעבר על כל האפשרויות,
אם אז יש
איברים שיכולים להיות הופכי:
(למעשה יש פחות, כי לעולם לא יהיה הופכי ו
הופכי רק ב
)
אפשר פשוט לנסות את כל האפשרויות עד שמוצאים הופכי.
שיטה זו טובה לשדות קטנים, אבל מה עושים אם רוצים למצוא הופכי ב ? בשיטה הזאת נצטרך לנסות 99 אפשרויות.
כדי להסביר איך מוצאים הופכי ב נצטרך להביא כמה הקדמות מתורת המספרים.
כמה מושגים בתורת המספרים
הגדרה: יהיו אומרים ש
מחלק את
(ומסמנים
)
אם קיים
כך ש
.
הגדרה: יהיו המחלק המשותף המירבי של
(מסומן
) הוא המספר הגדול ביותר שמחלק גם את
וגם את
.
כלומר
ההגדרה הזאת בעייתית כאשר במצב זה אומרים ש
.
נשים לב שאם מספר ראשוני ו
אז
משפט: יהיו ו
אזי קיימים
כך ש
.
הערה: נשים לב כי באמצעות משפט זה ניתן להוכיח את קיום ההופכי ב , כי אם
אז
לכן קיימים
כך ש
.
אם נפעיל על שני צידי המשוואה הזאת נקבל
שהופך ל
לכן
הוא הפכי מתאים ל
.
כל זה טוב ויפה, אבל איך מוצאים את ?
חישוב ההופכי
עבור שני מספרים כך ש
נתאר שיטה שבעזרתה ניתן למצוא את המספרים
כך ש
.
- נתחיל מהמקרה
נניח ש , נסמן
.
(אם אז נסמן הפוך)
נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש
.
ונסמן .
כעת נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש
ונסמן .
נמשיך כך עד שנגיע לשלב שבו
.
עד כאן החלק הקל,
עכשיו צריך להתחיל חישוב אחורה
אבל בשלב הקודם קיבלנו ש
לכן אפשר להציב
שהופך ל:
אבל שוב, בשלב קודם ראינו ש
ואפשר להציב את התוצאה ב
שמופיע בביטוי
ולקבל ביטוי מהצורה
וכן הלאה עד שנגיע לביטוי מהצורה
שזה בדיוק
.
- אם
או
אז מוצאים
מתאימים עבור
ואז ואז
אם לוקחים
(אחרת
)
אם לוקחים
(אחרת
)
- אם
הסיכוי היחיד ש
זה אם
וזה מקרה פשוט
כנ"ל אם
דוגמא
מצא את ההופכי של ב
.
נחשב
עכשיו נחשב אחורה
.
לכן ההופכי של 27 ב הוא 15.