<math>(na+mp)mod~p = 1mod~p</math>
שהופך ל <math>(na)mod~p = 1</math>
לכן <math>n~mod~p</math> הוא הפכי הופכי מתאים ל <math>a</math>.
כל זה טוב ויפה, אבל איך מוצאים את <math>n</math>?
שהופך ל:
<math>(1+q_{k-1}q_{k-2})r_{k-2}-q_{k-1}r_{k-3} = 1</math> <math>(\ast)</math>
אבל שוב, בשלב קודם ראינו ש
<math>r_{k-4} - q_{k-3}r_{k-3} =r_{k-2}</math>
ואפשר להציב את התוצאה <math>r_{k-4} - q_{k-3}r_{k-3}</math> ב <math>r_{k-2}</math>
שמופיע בביטוי <math>(\ast)</math> ולקבל ביטוי מהצורה
<math>xr_{k-4}+yr_{k-3}=1</math>
עבור <math>x,y</math> כלשהם
וכן הלאה עד שנגיע לביטוי מהצורה
* אם <math>b<0</math> או <math>a<0</math> אז מוצאים <math>n',m'</math> מתאימים עבור <math>|a|,|b|</math>בשיטה שתוארה קודם
ואז <math>n'|a|+m'|b|=1</math> ואז