מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/9: הבדלים בין גרסאות בדף
שורה 58: | שורה 58: | ||
*<math>ln(f(x))</math> (הצג את הביטוי בעזרת ' | *<math>ln(f(x))</math> (הצג את הביטוי בעזרת <math>f'</math>) | ||
==בעיות מינימום/מקסימום== | ==בעיות מינימום/מקסימום== |
גרסה מ־07:25, 20 באוגוסט 2012
נגזרות
אנו יודעים כי השיפוע של קו ישר הוא ההפרש בציר ה-y חלקי ההפרש בציר ה-x. הנגזרת של פונקציה בנקודה היא שיפוע המשיק באותה הנקודה.
נגזרות ידועות:
- עבור c קבוע, [math]\displaystyle{ \Big(c\Big)'=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big(x^n\Big)'=nx^{n-1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big(sin(x)\Big)'=cos(x) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big(cos(x)\Big)'=-sin(x) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big(a^x\Big)'=ln(a)\cdot a^x }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big(ln(x)\Big)'=\frac{1}{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big(arctan(x)\Big)'=\frac{1}{1+x^2} }[/math]
נוסחאות גזירה
- [math]\displaystyle{ (cf)'=c\cdot f' }[/math]
- [math]\displaystyle{ (f+g)'=f'+g' }[/math]
- [math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'g+g'f }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-g'f}{g^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g' }[/math]
תרגיל גזור את הפונקציות הבאות:
- [math]\displaystyle{ tan(x) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{(ax+b)^n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ sin\Big(\frac{e^x}{x^e}\Big) }[/math]
- [math]\displaystyle{ ln(f(x)) }[/math] (הצג את הביטוי בעזרת [math]\displaystyle{ f' }[/math])
בעיות מינימום/מקסימום
תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה גזירה. רוצים לדעת מה המקסימום והמינימום שהפונקציה מקבלת בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
אם הפונקציה מקבלת נקודת קיצון (מינ' או מקס') בחלק הפנימי של הקטע ([math]\displaystyle{ a\lt x\lt b }[/math]) אזי הנגזרת שלה חייבת להתאפס בנקודה.
לכן, נמצא את כל הנקודות בקטע בהן הנגזרת מתאפסת, נוסיף את קצוות הקטע (בהן הנגזרת לא חייבת להתאפס) ונבדוק מתי הפונקציה מקבלת את הערך המקסימלי שלה ומתי את הערך המינימלי
תרגיל: מצא את המינימום והמקסימום של הפונקציה [math]\displaystyle{ x^7-x^8 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]
בנוסף, לעיתים ניתן למצוא ולאפיין נקודת קיצון על ידי הנגזרת השנייה:
- נניח [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מינימום מקומי (כלומר, f קטנה או שווה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מכל הנקודות הקרובות אליה)
- נניח [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f''(x_0)\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מקסימום מקומי (כלומר, f גדולה או שווה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מכל הנקודות הקרובות אליה)
תרגיל: נביט בכל המלבנים שהיקפם 8.
א. האם יש מלבן כזה עם שטח מקסימלי או מינימלי?
ב. מצא את אותו שטח קיצוני.