שינויים

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

נוספו 17,948 בתים, 08:10, 3 בספטמבר 2012

/* טורים מאינפי 1 */ פסקה חדשה

:::אני לא ממש מוצא איפה אני יכול לשחק עם סכומי רימן כאן, אז ניסית אולי משהו טורי חזקות או טורי פונקציות?

:::: זה קל עם טורי חזקות :)

== תרגיל 4 שאלה 3 סעיפים ב,ג ==

==תרגולי אור שחף==

לא ברורה לי דרך א' בשאלה 6 [http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:%D7%90%D7%95%D7%A8_%D7%A9%D7%97%D7%A3/133_-_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/1.5.11 פה] -- מה שכתוב לא ממש הגיוני, כי הגבול שווה ל-0 ובמכנה צריך להיות <math>1/x^2</math> במקום סתם <math>x^2</math>, ואז זה יוצא 0 ואפשר לקבל את המסקנה, אבל מה שהם כתבו לא ברור. (כי אפילו אם זה היה באמת אינסוף, אז זה רק אומר שאם המונה מתכנס אז גם המכנה.)

:מוזמן לתקן.. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== עוד בעיה אצל אור שחף ==

:יותר ממוזמן לתקן אם אתה יודע איך. אם לא אז תגיד לי ואני אציץ. תודה, --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אכן יש שם בעיה רצינית, האינטגרל מתבדר לפי השוואה גבולית עם <math>\frac{1}{x}</math>

:::תיקנתי.

==אינטגרל מרוכב==

integrate <math>x^2/(x^4-x^2+1)</math>

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^2%2F%28x^4-x^2%2B1%29

זה אומר שהאינטגרל לא קיים במובן הממשי? הרי הוא רציונלי, איך זה יכול לקרות? :אם תביט היטב תראה שהחלק הדמיוני שווה לאפס. כנראה שהוא מצטמצם בביטוי... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == תרגיל 3 שאלה 3 == איך היה התרגיל משתנה אם: 1)היינו הופכים את הdt לdx? 2)כותבים <math>g_\epsilon(t)</math>? פשוט מוזר שהאינטגרציה היא לפי t ואז מתייחסים לזה כפונ' של x. :זה דווקא הגיוני ולא מוזר. האינטגרל המסויים הוא מספר ממשי, ולכן אינו תלוי בשם המשתנה הפנימי. אם תכניס פונקציה אחרת תקבל מספר אחר. לכל איקס אנחנו מכניסים פונקציה אחרת, ולכן מקבלים מספר כתלות באיקס, זוהי בדיוק פונקציה של איקס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == תרגיל מת"א == תהי <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> פונקציה גזירה, וכן <math>f(a)=f(b)=0</math>. צריך להוכיח שקיימת נקודה <math>\xi \in (a,b)</math> כך ש: <math>|f'(\xi )|\geq \frac{4}{(b-a)^{2}}\int_{a}^{b}f(x)dx</math> :לא עשינו את זה כבר בשיעורי חזרה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == האינטגרל ממינוס אינסוף עד אינסוף של x == מצד אחד זה שווה לאינטגרלים מ0 עד אינסוף של x + אינטגרל ממינוס אינסוף עד 0 של x שביחד שואפים ל0,אבל אף אחד מהם לא גבול (כי הם שואפים כל אחד לאינסוף ולמינוס אינסוף בהתאמה) אז לפי ההגדרה הוא לא שווה להם... :[[אינטגרל לא אמיתי]] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == כשאומרים פונקציה מונוטנית == זה יכול להיות fn(2)>fn+1(2) אבל fn+1(1)>fn(1)? זה נראה כאילו אתה מדבר על סדרת פונקציות, ולא פונקציה. ואם אתה מתכוון למשפט דיני, המונוטוניות אכן לא חייבת להיות באותו כיוון בכל איקס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == arcsin(x) מוגדרת בין פיי ל-פיי?(אני לא מאמין שנזכרתי עכשיו לשאול == את זה):http://www.wolframalpha.com/input/?i=arcsin:הרגל בריא, לחפש בוולפראם כל מה שקשור למתמטיקה לפני ששואלים :)::ואפילו http://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+arcsin%28x%29 ==אין קשר לאינטגרלים, כותרת הדף==האם קיימת סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית לאפס בקטע סגור כך שההפרש בין כל שני איברים עוקבים שלה אינו מתכנס במ"ש ל-0? ::קח סדרת פונקציות <math>f_{n}(x)</math> שמתכנסת ל0, אך היא לא מתכנסת במ"ש. ::ותיצור סדרת פונקציות חדשה באופן הבא: <math>g_{n}(x)=\begin{cases} f_{n}(x)& \text{n is even } \\ 0 & \text{n is odd } \end{cases}</math>:::יפה! == סדרות של פונקציות == כשיש לי סדרה של פונקציות, האם מותר לי להחליף את ה-n ב-y ולהתייחס ל-x כקבוע, ואז ניתן לגזור כי הפונקציה עם y רציפה. זה מותר?תודה!אמרו לי שעשית את זה פעם בשיעור של 19:00...:באופן כללי בסדרות של פונקציות, על מנת לחשב את פונקצית הגבול מתייחסים לx כאל קבוע. כמו כן, באופן כללי ניתן לחשב גבולות של סדרות באמצעות כלל לופיטל (אני מניח שלזה אתה מתכוון ב"מותר לגזור"). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == בעקבות תרגיל מהתרגול של מתן == תהי <math>f_n</math> סדרת פונ׳ רציפות שמתכנסות נקודתית לפונ' f חסומה. האם בהכרח f אינטגרבילית?:לא עונים במת' ויקי!::אל תשאל שאלות קשות! דווקא חשבתי על זה... אני אחשוב על זה עוד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]:::רדוקציה משמעותית של הבעיה (ענו לי ולא הבנתי): התשובה היא לא. דוגמה נגדית: לוקחים פונ' רציפה <math>\phi (x)</math> שבקבוצה מסויימת <math>K \subset \mathbb{R}</math> היא 1, ובכל מקום אחר <math>0 \leq \phi (x)< 1</math>, ואז מגדירים את הסדרה <math>f_n(x)=(\phi(x))^n</math> של פונ' רציפות, ולפונקציית הגבול יש רק את הערכים 0 ו-1 ולכן היא חסומה. הנקודה היא לראות למה f אינה אינטגרבילית; מראים איכשהו שסכומי דרבו שלה שונים. K היא קבוצת סמית-וולטרה-קנטור כשמורידים קטע קטן משליש מהאמצע בכל פעם.:::אז ברור שזה חורג מהקורס, אבל אני עדיין רוצה הסבר. ::::הממ... כזכור לפי משפט לבג, פונקציה אינטגרבילית אם"ם קבוצת נקודות אי הרציפות שלה היא ממידה אפס. אם K אינו ממידה אפס, זה מיידי. השאלה היא למה K אינו ממידה אפס? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]:::::1)אפשר לקחת <math>K \subset \mathbb{R}</math> כלשהי, כשהדרישות היחידות הן שהיא תהיה ממידה חיובית ותהיה פונ' רציפה שמקבלת 1 רק עליה, נכון? :::::2)להוכיח שהמידה היא חיובית זה דווקא קל, פשוט מסכמים את האורכים ומקבלים מספר חיובי, ראה [http://en.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set#Properties כאן], אבל השאלות הן למה היא קומפקטית (כל קבוצה שיש לה מידה היא קומפקטית?), ולמה לכל קבוצה קומפקטית יש פונ' רציפה <math>\phi (x)</math> שמקבלת 1 רק עליה ובשאר התחום <math>0 \leq \phi (x)< 1</math>. (בכל אופן, בהנחת הטענות האלה, שבאופן מובהק אינן קשורות לקורס, הבנתי :) == באיחור קל == [[קובץ:2.24.jpg]] הטענה: לכל <math>\left \{ a_n \right \}</math> חסומה, מתקיים <math>\limsup_{n \to \infty } \,an=\lim_{r \to \infty} (sup\left \{ a_{r+k} \right \}_{k=1}^\infty)</math> ד"ר שיין לא הוכיח אותה. :בהנחה שהגבול העליון הוא הגבול החלקי המקסימלי?::לא, כי מקבלים את זה כמסקנה מהמשפט הנ"ל... :::זו לא ממש מסקנה, זה גרירה דו כיוונית. אבל בגלל שאתה לא מניח את זה, זו ההגדרה. ::::העובדה שהגדרה זו שקולה להגדרת "מקסימום קבוצת הגבולות החלקיים" היא הוכחה מאינפי 1. לא קשה במיוחד אפילו... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] :::::אבל שניכם הגדרתם את הגבול העליון בתור המקסימום של הגבולות החלקיים, במקום בתור הסופרימום, למרות שאף אחד לא אמר מראש שיש מקסימום. ::::::אתה צודק שזה לא מובן מאליו שיש מקסימום, אבל זה חלק מאותה הוכחה מאינפי 1. מטבע הדברים, לסופרמום יש איברים קרובים כרצוננו ומהם ניתן לבנות תת סדרה ששואפת אליו ממש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] :::::::קבוצת הגבולות החלקיים היא קבוצה סגורה, הוכיחו את זה באחד המבחנים באינפי 1. ולכן אפשר להגדיר אותו כמקסימום של הגבולות החלקיים. הנקודה היא שאו מה שאתה מבקש להוכיח זו ההגדרה או המקסימום של הגבולות החלקיים זו ההגדרה, אתה חייב להתחיל עם אחד מהם. == בהוכחת 3.5 == 1)איך מראים בשלילה ש-s הוא החסם מלעיל הקטן ביותר? (כשידוע שהוא חסם מלעיל) 2)לדעתי צ״ל גדול שווה בין s ל-u_m מיד לפני כן. 3)ההוכחה ש-s הוא חסם מלעיל מפוקפקת. למה מותר להשתמש בטריקים של התכנסות, אם לא אמרנו אף פעם שהמספר הנקבע הוא הגבול של u_m? (הוא רק מחלקת השקילות) :3.5 איפה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] ::אצל שיין. זאת ההוכחה לאקסיומה ה-15 של הממשיים. (לפי הבנייה של סדרות קושי.):::un ו ln שקולות, לכן, ההפרש ביניהם אפסי, ובפרט, עבור n גדול מספיק,נניח החל מ N1, ההפרש קטן מאפילון חצאים (שיין :) ):::<math>u_n-l_n<eps/2</math><math>un<ln+eps/2<ln+eps</math>לכן, עבור n גדול שווה ל N1, בפרט N1 עצמו, המספר הממשיuN1 קטן מהמספר הממשי S+eps [זה נכון כי ln מונוטונית עולה]נניח בשלילה ש החל מ N, הסדרה un אינה משתנה, אז קל לראות שמתקיימת ההגדרה של חסם עליון לערך הקבוע של un, (כי bn מתקדם לעבר un, ובסופו של דבר, עובר כל מומעד לחסם מלעיל, ושולל אותו)לכן, הסדרה כן משתנה, נניח ב N2+1עכשיו, כי un מונוטונית, ההפרש בין UN2 לבין כל un שבא אחריו, הוא לפחות הקפיצה המדוברת, נסמנה kנסתכל על סדרת קושי ששייכת ל S, שזהה ל un, אלא ש כל האיברים, עד uN2 כולל, שווים ל u(N2+1)כעת, קל לראות לפי הגדרת הסדר בממשיים, הסדרה שהרגע הגדרתי, והסדרה הקבועה uN2 ש S קטן מ המספר הממשי uN2טוב נו..נגיד שבחלק שהנחנו ש un לא משתנה, הנחנו שהיא לא משתנה עבור n גדול מ N1עכשיו קיבלנו uN כלשהו, מספיק גדול, שמקיים את העובדהS<uN<S+epsההוכחה עם החסם מלעיל הכי קטן דומה במשאז כן, זה לא היה טריוויאלי כמו ששיין כתב את זה, במיוחד לא כי אנחנו עובדים בעולם חדש ולא מוכר לנו, הממשיים, אבל זה נכון == טורים == איך מנמקים פורמלית שכדי למצוא את הטור עבור <math>cos(2x)</math> מספיק להציב <math>2x</math> בטור של <math>cosx</math>?:לא יודע, לא נימקתי את זה מעולם. כל פעם ששואלים אותי אני חושב לעצמי "הממ... זו באמת שאלה טובה, כדאי שאני אבדוק את זה מתישהו". ככה זה כבר שנתיים לצערי... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]::תוכל לברר איפשהו?:::נניח תחום ההתכנסות כולל את x, אזי אם מציבים את x בטור, מקבלים את cos(x):::נסמן x=2a, לכן אם מציבים את 2a בטור, נקבל cos(2a), עכשיו, שם המשתנה לא משנה, אז אפשר לראות שאם מציבים את 2x בטור, מקבלים cos(2x). אוהד, למה מחקת? --[[משתמש:TomerBrandes|TomerBrandes]] 23:15, 14 ביולי 2012 (IDT) =="אינטגרל חוזר"==עמוד 2 שאלה 4ב? ניסינו הרבה. http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88133/4ef1b3436493a.pdf :<s>נשמע שחסר נתון... e^x היא דוגמא נגדית.</s> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] ::הוכחנו את זה בקבוצה, פשוט שצריך לעקוב אחרי הפוסטים הלא רציפים. הוכחה של אופיר: (מצטער אם לא אכתוב מדויק) טענה: יהיו f,g פונ' ממשיות, ונניח שמתקיים <math>f \geq abs(g)</math> בתחום <math>[0,a]</math> אז מתקיים <math>\int f \geq abs(\int g)</math> כאשר האינטגרלים הם בתחום <math>[0,a]</math> כלשהו... הטענה נובעת מהשוואת אינטגרלים חיוביים ומאי שוויון המשולש האינטגרלי. כעת, מכיוון ש f0 אינטגרבילית אז היא חסומה ע"י M ולכן יש פונ' קבועה g=M כך ש <math>g \geq abs(f_0)</math> בתחום <math>[0,a]</math> אז גם אם נסתכל על סדרות האינטגרלים המתוארות בשאלה נקבל <math>g_n \geq abs( f_n )</math>. עכשיו נסתכל על [g[n... זה תרגיל לא קשה (אפשר לחסום עם סדרה ולהראות התכנסות שלה עם ד'לאמבר) להראות ש [g[n מתכנס במ"ש ל 0, ולפי הגדרת התכנסות במ"ש קל לקבל שגם [f[n מתכנסת במ"ש ל 0. == הוכחה אלגברית == איך מראים שאם <math>x,y \in [a,b]</math> אז <math>|x-y| \leq b-a</math>? :נניח ב.ה.כ כי <math>x>y</math>. לכן <math>|x-y|=x-y\leq b-y \leq b-a</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == טור מספרים == איך מראים <math>\sum(\frac{n!e^n}{n^n})</math> מתבדר?:קוראים בחומר התרגול של אינפי 1 באתר, בדוגמאות של טורים חיוביים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]::ואז? זה קצת דומה ל-7, אבל אי אפשר כמו שם.:::זה לא בדיוק אחד חלקי הטור המתכנס ב7 ולכן שואף לאינסוף? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == סדר סכימה בטורים == למה מותר להחליף את סדר הסכימה כשיש סכום כפול אינסופי? (נובע מהטענה על גבול כפול, שנכונה כי?):אני לא בטוח על איזה טענה מדובר, אבל זה מותר לשנות את סדר הסכימה אם הטור מתכנס בהחלט --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == מבחן השורש == איך מראים שמותר לקחת במבחן קושי-הדמר (לרדיוס התכנסות) שורש מסדר שתיים בחזקת אן במקום n? :הקשר מאד יעזור בשאלות מסוג זה. באופן כללי, עבור טור מהצורה <math>\sum a_n x^{b_n}</math> רדיוס ההתכנות הוא <math>R=\frac{1}{\limsup \sqrt[b_n]{|a_n|}}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == מבחן של הורוביץ == http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88133/4ef1b085019d4.pdf האם אפשר עזרה ב: * שאלה 3 סעיף ב' *שאלה 4 סעיף ג' *שאלה 4 סעיף ב' - האין זה פשוט מבחן ד'אלמבר לטורים של מספרים? תודה רבה ===תשובה===שאלה 3 סעיף ב' - תפעיל את הגדרת הנגזרת לפי גבול. את הגבול ניתן לחשב עם לופיטל, למשל. (מבלי שפתרתי בעצמי) שאלה 4 סעיף ג' - עושה רושם שהאיבר הכללי של הטור (כלומר האינטגרל) אינו שואף לאפס. אפשר להראות שבערך מוחלט הוא חסום מלמטה על ידי חצי כפול האינטגרל של הסינוס (או משהו בסגנון) שאלה 4 סעיף ב' - נכון. אפשר גם להסתכל על זה כטור חזקות שהציבו בו e^4, גם במקרה זה רדיוק ההתכנסות יוצא אינסוף בכל מקרה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] == אור שחף == http://www.math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_הרצאה/12.7.11#.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_5 מאיפה הגיעו המספרים המוזרים לטור של 2x חלקי? למה 2n+1? == ממבחן == הוכח: <math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sqrt{sinx}dx\ < \sqrt{\frac{2\pi^3}{3}} </math> וולפראם מאשר נכונות: http://www.wolframalpha.com/input/?i=int_{0}^{pi%2F2}x*sqrt{sinx}dx-sqrt%282*pi^3%2F3}%29 :sin(x)<=x בקטע זה, ומכאן מתקבל חסם הרבה הרבה יותר טוב ממה שביקשו.::אכן, שאלה קצת מגוחכת. == סדרות פונ' == אם fn מתכנסת במ״ש בתחום, האם בהכרח |fn| מתכנסת במ״ש שם ל|f|? == במש == מצא שתי סדרות פונ' מתכנסות במ"ש בקטע סגור כך שהמכפלה אינה מתכנסת במ"ש לכלום. == ממש בסיסי == אם יש שתי פונקציות f,g אינטגרביליות, וg לא מתאפסת בקטע הסגור שבו הן מוגדרות, אז המנה אינטגרבילית? == טורים מאינפי 1 == למה <math> \sum_{k=3}^{\infty}b_{k}\leq\sum_{k=1}^{\infty}2^{k}b_{2^{k}}\leq 2\sum_{k=1}^{\infty}b_{k} </math> ?

Sch

עריכות

שינויים

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

Math-Wiki