הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ (←התמרות פורייה שימושיות) |
|||
שורה 77: | שורה 77: | ||
=== התמרות פורייה שימושיות === | === התמרות פורייה שימושיות === | ||
* <math>\mathcal F\left(\mathrm e^{-|x|}\right)(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)}</math> | * <math>\mathcal F\left(\mathrm e^{-|x|}\right)(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)}</math> | ||
− | * <math>\mathcal F\left(\mathrm e^{-x^2}\right)(\omega)=\ | + | * <math>\mathcal F\left(\mathrm e^{-x^2}\right)(\omega)=\frac{\mathrm e^{-\omega^2/4}}{2\sqrt\pi}</math> (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: <math>\hat f'(\omega)=-\frac\omega2\hat f(\omega)</math>). |
− | * עבור <math>a | + | * עבור <math>a\ge0</math>: <math>\mathcal F(1_{[-a,a]})=\frac{\sin(a\omega)}{\pi\omega}</math> (כאשר <math>1_A</math> היא הפונקציה המציינת של קבוצה <math>A</math>, ומוגדרת ע״י <math>1_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&\text{else}\end{cases}</math>). |
== מד״ח == | == מד״ח == |
גרסה מ־18:46, 22 בספטמבר 2012
תוכן עניינים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
-
פונקציות.
- בהנתן
נסמן
ו־
.
-
הם מקדמי פורייה של
(בהתאמה) בטור פורייה של
, ו־
מקדמי פורייה של
בטור פורייה המרוכב.
-
היא העצרת הכפולה של
, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם
אי־זוגי) מ־1 עד
, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר:
ו־
.
-
אורתונורמלית ו־
אורתוגונלית.
תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית
- אי־שוויון הולדר: אם
כאשר
(כלומר,
צמודים) אזי
.
- אם
אזי
.
- ההיטל של
על
הוא
.
- אם
בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־
ב־
הוא
, כלומר
.
- אי־שוויון בסל:
.
- תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס
נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי
ובסיס אורתונורמלי
באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה
או פחות מסומן
.
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית
על מרחב הפולינומים
, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס
הם
ניתן לחשב אותם גם ע״יאו
, והם מקיימים
.
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית
על מרחב הפולינומים
, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס
הם
ניתן לחשב אותם גם ע״י(נוסחת רודריגז) או
, והם מקיימים
.
טורי פורייה
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע
יוצרות מרחב מכפלה פנימית
עם
. מכפלה פנימית שימושית נוספת היא
.
-
הוא סימון מקוצר ל־
.
-
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית
במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור
את התנאי
.
- המערכות
ו־
אורתונורמליות סגורות ב־
לפי המכפלות הפנימיות
ו־
בהתאמה.
- טור פורייה של
ב־
הוא
כאשר
.
- אם
זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים
.
- אם
- טור פורייה המרוכב של
ב־
הוא
כאשר
.
- מתקיים
וכן
.
- מתקיים
- אם
ו־
הסכום החלקי ה־
־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של
, אזי
.
-
הוא מרחב כל הפוקנציות ב־
שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־
למעט, אולי, בקצות הקטע.
- משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי
אינטגרבילית בהחלט ב־
ובעלת מחזור
. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־
מתכנס ל־
.
- אם
אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־
.
- אם
נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־
.
- תופעת גיבס: נניח שבנוסף
ו־
נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של
כך ש־
. כמו כן,
הסכום החלקי ה־
־י של טור פורייה של
. אזי קיימת סדרת נקודות
המקיימת
וכן
, וזו השגיאה המקסימלית.
- תופעת גיבס: נניח שבנוסף
- אם
- למת רימן־לבג: אם
אינטגרבילית בהחלט אזי
כאשר
(זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה:
. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־
שווה ל־
.
- אם
רציפה ב־
ו־
אז טור פורייה של
יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
- שוויון פרסבל: אם
אזי
ו־
.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם
אזי
כאשר
.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם
- אם
רציפה ב־
,
ו־
אזי טור פורייה של
גזיר איבר־איבר ומתקיים
.
- אם
אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל
ולכל
מתקיים
והטורים מתכנסים במ״ש.
- אם
קדומה ל־
ב־
אזי
.
- אם
התמרות פורייה
-
הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־
ל־
שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־
.
- התמרת פורייה:
נקראת "התמרת פורייה של
" ומוגדרת ע״י
.
- אם
אזי
מוגדרת ורציפה בכל נקודה
. בנוסף,
.
- לכל
ולכל
מתקיים:
-
- אם
ממשית אזי
.
- מקרה פרטי: אם
ממשית וזוגית אזי
והיא פונקציה ממשית.
- מקרה פרטי: אם
ממשית ואי־זוגית אזי
והיא פונקציה מדומה.
- מקרה פרטי: אם
- אם
מדומה אזי
.
- אם
אזי
.
- אם
אזי
.
- אם
אזי
.
- אם
אזי
.
- אם
ו־
אזי
.
- מקרה פרטי: אם
ו־
אזי
.
- מקרה פרטי: אם
- אם
מתכנס אזי
גזירה ברציפות ומתקיים
.
-
- התמרת פורייה ההפוכה: אם
אזי בכל נקודה
שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים
.
- מקרה פרטי: אם
אזי
.
- מקרה פרטי: אם
- עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה: תהי
המקיימת
, ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה
שלה. נוכל להציב
ב־
, לחלק את שני האגפים ב־
ולקבל
.
- אם
ו־
ו־
מתכנסים אזי
.
- מקרה פרטי: נוסחת פלנרשל (Plancherel): אם
ו־
ו־
מתכנסים אזי
.
- מקרה פרטי: נוסחת פלנרשל (Plancherel): אם
- קונבולוציה: יהיו
. אזי
.
-
-
-
- אם
אינטגרביליות בהחלט אז
מוגדרת עבורן בכל
וגם היא אינטגרבילית בהחלט.
- משפט הקונבולוציה:
.
- שימוש חשוב: נניח שידועות
ונרצה למצוא
כך ש־
. אזי
.
- שימוש חשוב: נניח שידועות
התמרות פורייה שימושיות
-
-
(הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת:
).
- עבור
:
(כאשר
היא הפונקציה המציינת של קבוצה
, ומוגדרת ע״י
).
מד״ח
- מעבר חום: נתונה המד״ח
(
קבוע) עם תנאי ההתחלה
ותנאי השפה
.
- שיטת הפרדת משתנים: נניח שניתן להציג את הפתרון
כמכפלה
. אזי
כאשר
מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות:
. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־
עבור
ולכן, עבור
נתון,
פתרון עבור
כרצוננו. לגבי המד״ר השנייה,
הוא פתרון עבור
נתון. הפתרון הכללי של
הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס:
, כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־
מקדמי טור פורייה של
ב־
.
- שימוש בהתמרת פורייה: נסמן
(כלומר, זו התמרת פורייה של
לפי
). לפי המד״ח
. פתרונה של המד״ר הזו הוא
, והצבה של
תתן
. עתה נחפש פונקציה
כך שהתמרת פורייה שלה לפי
תהא
. לפי ההתמרה של
וכמה מתכונות ההתמרה נקבל
ולכן, לפי משפט הקונבולוציה,
.
- שיטת הפרדת משתנים: נניח שניתן להציג את הפתרון
- משוואות גלים: נתונה המד״ח
(
קבוע) עם תנאי ההתחלה
ו־
ותנאי שפה
. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה
(שיטת הפרדת משתנים) ולכן
עבור
מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות:
, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל
כאשר
.