הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעד/הקדמה למשפט ז'ורדן"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "'''שאלה 1''': מצאו את כל תתי המרחבים האינווריאנטים של העתקת הנגזרת <math>T:\mathbb{R}_n[x]\rightarrow \mathbb{R}...") |
|||
(11 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 4: | שורה 4: | ||
תשובה: <math>\mathbb{R}_k[x]</math> עבור <math>k\leq n</math> | תשובה: <math>\mathbb{R}_k[x]</math> עבור <math>k\leq n</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''שאלה 2''': | ||
+ | |||
+ | אם <math>T,S</math> אופרטורים כך ש <math>TS=ST</math> | ||
+ | |||
+ | אזי <math>Im(S),Ker(S)</math> הם <math>T</math> אינווריאנטיים | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הגדרת מרחב עצמי מוכלל''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''שאלה 3''': | ||
+ | |||
+ | הוכיחו כי <math>Ker(T-\lambda I)^k</math> הוא <math>T</math> אינווריאנטי | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''שאלה 4''': | ||
+ | |||
+ | יהי אופרטור <math>T:V\rightarrow V</math>, נניח כי הפולינום האופייני הוא מהצורה <math>f_T=gh</math> כאשר <math>g,h</math> זרים זה לזה. | ||
+ | |||
+ | הוכיחו כי <math>V=Ker(g(T))\oplus Ker(h(T))</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''שאלה 5''': | ||
+ | יהי אופרטור <math>T</math> עם פולינום מל"ל וk ע"ע עצמיים שונים <math>\lambda_1,...,\lambda_k</math> עם ריבויים אלגבריים <math>n_1,...,n_k</math> בהתאמה. | ||
+ | |||
+ | הוכיחו כי <math>V=Ker(T-\lambda_1 I)^{n_1}\oplus\cdots\oplus Ker(T-\lambda_k I)^{n_k}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''שאלה 6''': | ||
+ | |||
+ | הוכיחו כי אופרטור ניליפוטנטי <math>T</math> דומה לבלוק ז'ורדן אם ורק אם קיים '''מסלול''' | ||
+ | <math>u,Tu,T^2u,...,T^{n-1}u</math> כך שמתקיים <math>T^{n-1}u\neq 0</math>, וגם <math>T^nu=0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''שאלה 7''': | ||
+ | הוכיחו כי אופרטור <math>T</math> דומה לבלוק ז'ורדן עם ע"ע <math>\lambda</math> אם ורק אם קיים '''מסלול''' | ||
+ | <math>u,(T-\lambda I)u,(T-\lambda I)^2u,...,(T-\lambda I)^{n-1}u</math> | ||
+ | כך שמתקיים <math>(T-\lambda I)^{n-1}u\neq 0</math>, וגם <math>(T-\lambda I)^nu=0</math>. |
גרסה אחרונה מ־14:17, 19 בנובמבר 2013
שאלה 1:
מצאו את כל תתי המרחבים האינווריאנטים של העתקת הנגזרת
תשובה: עבור
שאלה 2:
אם אופרטורים כך ש
אזי הם אינווריאנטיים
הגדרת מרחב עצמי מוכלל
שאלה 3:
הוכיחו כי הוא אינווריאנטי
שאלה 4:
יהי אופרטור , נניח כי הפולינום האופייני הוא מהצורה כאשר זרים זה לזה.
הוכיחו כי
שאלה 5:
יהי אופרטור עם פולינום מל"ל וk ע"ע עצמיים שונים עם ריבויים אלגבריים בהתאמה.
הוכיחו כי
שאלה 6:
הוכיחו כי אופרטור ניליפוטנטי דומה לבלוק ז'ורדן אם ורק אם קיים מסלול כך שמתקיים , וגם .
שאלה 7:
הוכיחו כי אופרטור דומה לבלוק ז'ורדן עם ע"ע אם ורק אם קיים מסלול
כך שמתקיים , וגם .