הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:אפיון ערכים עצמיים"
מ (6 גרסאות יובאו) |
|||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{remark} |
$A$ איננה הפיכה אם ורק אם $\det\left (A\right )=0$. | $A$ איננה הפיכה אם ורק אם $\det\left (A\right )=0$. | ||
| − | \ | + | \end{remark} |
| − | + | \begin{thm} | |
| − | \ | + | $\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של מטריצה $A\in M_{n}(\mathbb{F})$ אם ורק אם $\det\left (\lambda I-A\right )=0$. |
| + | |||
| + | \end{thm} | ||
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
$\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של $A$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$Av=\lambda v$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\lambda v-Av=0$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\left (\lambda I-A\right )v=0$ $\Leftrightarrow$ המטריצה $\lambda I-A$ אינה הפיכה $\Leftrightarrow$ $\det(\lambda I-A)=0$. | $\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של $A$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$Av=\lambda v$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\lambda v-Av=0$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\left (\lambda I-A\right )v=0$ $\Leftrightarrow$ המטריצה $\lambda I-A$ אינה הפיכה $\Leftrightarrow$ $\det(\lambda I-A)=0$. | ||
| − | המשפט מאפשר לנו לחשב ערכים עצמיים מבלי לנסות לכפול וקטורים במטריצה בתקווה ש"ייצא טוב". לפי המשפט, כדי למצוא ערכים עצמיים של המטריצה נוכל לפתור את המשוואה $\det\left (\lambda I-A\right )=0$. זהו פולינום ממעלה $n$, ובהמשך נקרא לו הפולינום האופייני של $A$, והוא ישחק תפקיד חשוב בתיאוריה שלנו. | + | \end{proof} |
| + | |||
| + | המשפט מאפשר לנו לחשב ערכים עצמיים מבלי לנסות לכפול וקטורים במטריצה בתקווה ש"ייצא טוב". לפי המשפט, כדי למצוא ערכים עצמיים של המטריצה נוכל לפתור את המשוואה $\det\left (\lambda I-A\right )=0$. זהו פולינום ממעלה $n$, ובהמשך נקרא לו "הפולינום האופייני" של $A$, והוא ישחק תפקיד חשוב בתיאוריה שלנו. | ||
גרסה אחרונה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
\begin{remark}
$A$ איננה הפיכה אם ורק אם $\det\left (A\right )=0$.
\end{remark}
\begin{thm}
$\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של מטריצה $A\in M_{n}(\mathbb{F})$ אם ורק אם $\det\left (\lambda I-A\right )=0$.
\end{thm}
\begin{proof}
$\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של $A$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$Av=\lambda v$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\lambda v-Av=0$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\left (\lambda I-A\right )v=0$ $\Leftrightarrow$ המטריצה $\lambda I-A$ אינה הפיכה $\Leftrightarrow$ $\det(\lambda I-A)=0$.
\end{proof}
המשפט מאפשר לנו לחשב ערכים עצמיים מבלי לנסות לכפול וקטורים במטריצה בתקווה ש"ייצא טוב". לפי המשפט, כדי למצוא ערכים עצמיים של המטריצה נוכל לפתור את המשוואה $\det\left (\lambda I-A\right )=0$. זהו פולינום ממעלה $n$, ובהמשך נקרא לו "הפולינום האופייני" של $A$, והוא ישחק תפקיד חשוב בתיאוריה שלנו.
