הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:ערכים עצמיים של אופרטור נילפוטנטי"
מתוך Math-Wiki
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{lem} |
| − | אם $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי, $n=\dim V$, אזי הפולינום האופייני של $T$ הוא $p_T\left(x\right)=x^n$ | + | אם $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי, $n=\dim V$, אזי הפולינום האופייני של $T$ הוא |
| + | $$p_T\left(x\right)=x^n$$ | ||
| − | \ | + | \end{lem} |
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
$T^s=0$, ולכן $x^s$ הוא פולינום מאפס ל-$T$. לכן, $m_T\left(x\right)|x^s$, ז"א $m_T\left(x\right)=x^k$. אבל $p_T\left(x\right)|\left[m_T\left(x\right)\right]^n$, ולכן $p_T\left(x\right)|x^{kn}$, ובנוסף $\deg\left(p_T\right)=n$. לכן, $p_T\left(x\right)=x^n$. | $T^s=0$, ולכן $x^s$ הוא פולינום מאפס ל-$T$. לכן, $m_T\left(x\right)|x^s$, ז"א $m_T\left(x\right)=x^k$. אבל $p_T\left(x\right)|\left[m_T\left(x\right)\right]^n$, ולכן $p_T\left(x\right)|x^{kn}$, ובנוסף $\deg\left(p_T\right)=n$. לכן, $p_T\left(x\right)=x^n$. | ||
| − | \ | + | \end{proof} |
| + | |||
| + | \begin{cor} | ||
$\lambda=0$ הוא ערך עצמי יחיד של כל אופרטור נילפוטנטי. | $\lambda=0$ הוא ערך עצמי יחיד של כל אופרטור נילפוטנטי. | ||
| − | שימו לב שאת המסקנה האחרונה ניתן להוכיח גם ללא המשפט, והמשפט ינבע ממנה | + | \end{cor} |
| + | |||
| + | שימו לב שאת המסקנה האחרונה ניתן להוכיח גם ללא המשפט, והמשפט ינבע ממנה. | ||
גרסה מ־08:52, 3 בספטמבר 2014
\begin{lem}
אם $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי, $n=\dim V$, אזי הפולינום האופייני של $T$ הוא $$p_T\left(x\right)=x^n$$
\end{lem}
\begin{proof}
$T^s=0$, ולכן $x^s$ הוא פולינום מאפס ל-$T$. לכן, $m_T\left(x\right)|x^s$, ז"א $m_T\left(x\right)=x^k$. אבל $p_T\left(x\right)|\left[m_T\left(x\right)\right]^n$, ולכן $p_T\left(x\right)|x^{kn}$, ובנוסף $\deg\left(p_T\right)=n$. לכן, $p_T\left(x\right)=x^n$.
\end{proof}
\begin{cor}
$\lambda=0$ הוא ערך עצמי יחיד של כל אופרטור נילפוטנטי.
\end{cor}
שימו לב שאת המסקנה האחרונה ניתן להוכיח גם ללא המשפט, והמשפט ינבע ממנה.
