הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:קבוצה אורתוגונלית בלי אפס בלתי תלויה"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "\begin{thm} אם $S$ קבוצה אורתוגונלית, וכן $0\notin S$, אזי $S$ קבוצה בלתי תלויה לינארית. \end{thm} \begin{proof}...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 7: | שורה 7: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
| − | נניח שקיימים $v_1,\dots,v_n\in S$ | + | נניח שקיימים $v_1,\dots,v_n\in S$ ו-$\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{F}$ כך ש-$\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n=0$. "נכפול" ב-$v_1$ את שני הצדדים: |
| − | + | ||
$$\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_1 \right \rangle=\left \langle 0,v_1 \right \rangle\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle+\cdots+\alpha_n\left \langle v_n,v_1 \right \rangle=0\Rightarrow\\$$ | $$\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_1 \right \rangle=\left \langle 0,v_1 \right \rangle\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle+\cdots+\alpha_n\left \langle v_n,v_1 \right \rangle=0\Rightarrow\\$$ | ||
$$\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle=0\overset{v_1\neq 0}{\Rightarrow}\alpha_1=0$$ | $$\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle=0\overset{v_1\neq 0}{\Rightarrow}\alpha_1=0$$ | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{thm}
אם $S$ קבוצה אורתוגונלית, וכן $0\notin S$, אזי $S$ קבוצה בלתי תלויה לינארית.
\end{thm}
\begin{proof}
נניח שקיימים $v_1,\dots,v_n\in S$ ו-$\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{F}$ כך ש-$\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n=0$. "נכפול" ב-$v_1$ את שני הצדדים: $$\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_1 \right \rangle=\left \langle 0,v_1 \right \rangle\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle+\cdots+\alpha_n\left \langle v_n,v_1 \right \rangle=0\Rightarrow\\$$ $$\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle=0\overset{v_1\neq 0}{\Rightarrow}\alpha_1=0$$
באופן דומה נמשיך ונקבל $\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0$.
\end{proof}
