הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:שוויון באי-שוויון בסל"
(יצירת דף עם התוכן "לאחר שהוכחנו את אי-השוויון, נשאלת השאלה האם יכול להיות בו שוויון, ואם כן - מתי. אנו יודעים...") |
|||
| שורה 13: | שורה 13: | ||
\item[$\Rightarrow$] אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, נשתמש בעובדה שלכל $i>k$, מתקיים $v_i\perp\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, ולכן $v_i\perp v$, זאת אומרת $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$, ולכן יש שוויון. | \item[$\Rightarrow$] אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, נשתמש בעובדה שלכל $i>k$, מתקיים $v_i\perp\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, ולכן $v_i\perp v$, זאת אומרת $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$, ולכן יש שוויון. | ||
| − | \item[$\Leftarrow] אם יש שוויון, אזי $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$ לכל $i>k$, כלומר $v\perp v_i$, ולכן $v\perp\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$. אבל $\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}^\perp=\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$, ולכן $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$. | + | \item[$\Leftarrow$] אם יש שוויון, אזי $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$ לכל $i>k$, כלומר $v\perp v_i$, ולכן $v\perp\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$. אבל $\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}^\perp=\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$, ולכן $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$. |
\end{description} | \end{description} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה מ־12:54, 27 באוגוסט 2014
לאחר שהוכחנו את אי-השוויון, נשאלת השאלה האם יכול להיות בו שוויון, ואם כן - מתי. אנו יודעים שיהיה שוויון אם הקבוצה תהיה בסיס אורתונורמלי, אבל נוכיח טענה חזקה יותר:
\begin{remark}
באי-שוויון בסל יש שוויון אם ורק אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$.
\end{remark}
\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\Rightarrow$] אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, נשתמש בעובדה שלכל $i>k$, מתקיים $v_i\perp\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, ולכן $v_i\perp v$, זאת אומרת $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$, ולכן יש שוויון.
\item[$\Leftarrow$] אם יש שוויון, אזי $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$ לכל $i>k$, כלומר $v\perp v_i$, ולכן $v\perp\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$. אבל $\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}^\perp=\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$, ולכן $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$.
\end{description}
\end{proof}
