הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:שוויון באי-שוויון בסל"
מ (3 גרסאות יובאו) |
|||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 11: | שורה 11: | ||
\begin{description} | \begin{description} | ||
| − | \item[$\Rightarrow$] אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, נשתמש בעובדה שלכל $i>k$, מתקיים $v_i\perp\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, ולכן $v_i\perp v$, זאת אומרת $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$, ולכן יש שוויון. | + | \item[$\boxed{\Rightarrow}$] אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, נשתמש בעובדה שלכל $i>k$, מתקיים $v_i\perp\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, ולכן $v_i\perp v$, זאת אומרת $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$, ולכן יש שוויון. |
| − | \item[$\Leftarrow$] אם יש שוויון, אזי $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$ לכל $i>k$, כלומר $v\perp v_i$, ולכן $v\perp\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$. אבל $\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}^\perp=\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$, ולכן $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$. | + | \item[$\boxed{\Leftarrow}$] אם יש שוויון, אזי $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$ לכל $i>k$, כלומר $v\perp v_i$, ולכן $v\perp\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$. אבל $\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}^\perp=\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$, ולכן $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$. |
\end{description} | \end{description} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:22, 4 באוקטובר 2014
לאחר שהוכחנו את אי-השוויון, נשאלת השאלה האם יכול להיות בו שוויון, ואם כן - מתי. אנו יודעים שיהיה שוויון אם הקבוצה תהיה בסיס אורתונורמלי, אבל נוכיח טענה חזקה יותר:
\begin{remark}
באי-שוויון בסל יש שוויון אם ורק אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$.
\end{remark}
\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\boxed{\Rightarrow}$] אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, נשתמש בעובדה שלכל $i>k$, מתקיים $v_i\perp\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, ולכן $v_i\perp v$, זאת אומרת $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$, ולכן יש שוויון.
\item[$\boxed{\Leftarrow}$] אם יש שוויון, אזי $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$ לכל $i>k$, כלומר $v\perp v_i$, ולכן $v\perp\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$. אבל $\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}^\perp=\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$, ולכן $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$.
\end{description}
\end{proof}
