הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של אופרטורים"
| (4 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{definition} |
| − | \ | + | \textbf{אופרטור לינארי} $T:V\rightarrow V$ הוא העתקה |
לינארית מ-$V$ לעצמו. | לינארית מ-$V$ לעצמו. | ||
| − | |||
| − | \ | + | \end{definition} |
| + | |||
| + | \begin{definition} | ||
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אומרים ש-$ | יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אומרים ש-$ | ||
| − | \lambda \in\mathbb{F}$ הוא \ | + | \lambda \in\mathbb{F}$ הוא \textbf{ערך עצמי} (ע"ע) של האופרטור $T$ |
אם קיים | אם קיים | ||
$0\ne v\in V$ שעבורו $Tv=T(v)=\lambda v | $0\ne v\in V$ שעבורו $Tv=T(v)=\lambda v | ||
$. | $. | ||
| − | הוקטור $v$ נקרא \ | + | הוקטור $v$ נקרא \textbf{וקטור עצמי} (ו"ע) |
של $T$ הקשור ל-$\lambda $. | של $T$ הקשור ל-$\lambda $. | ||
| + | \end{definition} | ||
| − | \ | + | המשמעות זהה למטריצות - אילו וקטורים האופרטור מותח או מכווץ. |
| + | |||
| + | \begin{thm} | ||
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, | יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, | ||
| שורה 26: | שורה 30: | ||
. | . | ||
| − | \ | + | \end{thm} |
| − | נסמן $\left [ v \right ]_B=\left ( \begin{matrix} | + | \begin{proof} |
| + | |||
| + | נסמן | ||
| + | $$\left [ v \right ]_B=\left ( \begin{matrix} | ||
\alpha_1\\ | \alpha_1\\ | ||
\vdots\\ | \vdots\\ | ||
\alpha_n | \alpha_n | ||
| − | \end{matrix} \right )$ | + | \end{matrix} \right )$$ |
| − | + | ||
$A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ | $A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ | ||
יחסית ל-$B$, ולכן $Tv=A\cdot \left [ v \right ]_B$ | יחסית ל-$B$, ולכן $Tv=A\cdot \left [ v \right ]_B$ | ||
. $\lambda$ ע"ע של $T$, אזי קיים | . $\lambda$ ע"ע של $T$, אזי קיים | ||
$v\neq 0$ כך ש-$Tv=\lambda v$, זאת אומרת | $v\neq 0$ כך ש-$Tv=\lambda v$, זאת אומרת | ||
| − | $ | + | $A\cdot\left [ v \right ]_B=\lambda \left [ v \right ]_B$, |
| − | cdot\left [ v \right ]_B=\lambda \left [ v \right ]_B$, | + | |
ולכן | ולכן | ||
$\lambda$ ע"ע של $A$. | $\lambda$ ע"ע של $A$. | ||
| − | + | \end{proof} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | \end{ | + | |
גרסה אחרונה מ־08:27, 5 באוקטובר 2014
\begin{definition}
\textbf{אופרטור לינארי} $T:V\rightarrow V$ הוא העתקה לינארית מ-$V$ לעצמו.
\end{definition}
\begin{definition}
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אומרים ש-$ \lambda \in\mathbb{F}$ הוא \textbf{ערך עצמי} (ע"ע) של האופרטור $T$ אם קיים $0\ne v\in V$ שעבורו $Tv=T(v)=\lambda v $. הוקטור $v$ נקרא \textbf{וקטור עצמי} (ו"ע) של $T$ הקשור ל-$\lambda $.
\end{definition}
המשמעות זהה למטריצות - אילו וקטורים האופרטור מותח או מכווץ.
\begin{thm}
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} $ בסיס של $V$ ותהי $A$ המטריצה המייצגת של $T$ יחסית ל-$B$ . אזי אם $\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של $T$, הוא גם ערך עצמי של $A$ .
\end{thm}
\begin{proof}
נסמן $$\left [ v \right ]_B=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )$$ $A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ יחסית ל-$B$, ולכן $Tv=A\cdot \left [ v \right ]_B$ . $\lambda$ ע"ע של $T$, אזי קיים $v\neq 0$ כך ש-$Tv=\lambda v$, זאת אומרת $A\cdot\left [ v \right ]_B=\lambda \left [ v \right ]_B$, ולכן $\lambda$ ע"ע של $A$.
\end{proof}
