הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"
מתוך Math-Wiki
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "=העתקות לינאריות (ה"ל)= '''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. ה"ל הי...") |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←דוגמאות ודוגמאות נגדיות) |
||
שורה 18: | שורה 18: | ||
==דוגמאות ודוגמאות נגדיות == | ==דוגמאות ודוגמאות נגדיות == | ||
− | + | 1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> | |
− | + | אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא ה"ל. | |
הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים | הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים | ||
שורה 26: | שורה 26: | ||
− | + | 2. <math>V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. אזי העתקה <math>trace:V\to W</math> | |
המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא ה"ל. | המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא ה"ל. | ||
שורה 33: | שורה 33: | ||
<math>tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) </math> | <math>tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) </math> | ||
− | + | 3. <math>V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]</math> שניהם מעל <math>\mathbb{R}</math>. אזי העתקה <math>D:V\to W</math> | |
− | + | המגודרת <math>p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)</math> היא ה"ל. | |
− | + | ||
− | + | הוכחה: | |
− | + | ||
+ | <math>D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]</math> |
גרסה מ־20:06, 18 ביולי 2015
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה . ה"ל היא פונקציה אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים )
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות ודוגמאות נגדיות
1. יהיו שניהם מעל . תהא אזי העתקה המוגדרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל . אזי העתקה המגודרת היא ה"ל.
הוכחה: