=אינפי ' 1 לתיכוניסטים= כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי ' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
=ארכיון=
[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]
=תרגילים + פתרונות=[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]
=תרגילי אתגר באינפי'''[[מדיה:09Infi1_Sol1.pdf| תרגיל =*מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]]'''</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע*מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>*הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
===תרגיל אתגר מאתגר במיוחד===תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי'''[[מדיהבלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף:09Infi1_Sol2.pdf| תרגיל 2]]'''(קרדיט ללואי שפתרה את זה)
'''*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[[מדיה:09Infi1_Sol30,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.pdf| תרגיל 3]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol4.pdf| (שוב, זה תרגיל 4]]'''מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)
===פתרונות לאתגרים==='''[[מדיה:09Infi1_Sol5.pdfפתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע| תרגיל 5פתרונות]]'''
'''=שאלות===מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[מדיה:09Infi1_Sol6.pdf| תרגיל 6n]{n}-1}</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]'''{x}</math> זהו השורש ה- <math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?
'''[[מדיה:09Infi1_Sol7==שאלה==יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא.pdf| תרגיל 7]]'''נתונה הפונקציה::<math>\frac{p\sin(x)-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0
'''[[מדיה:09Infi1_Sol8כאשר <math>p=\pi</math> .pdf| תרגיל 8]]'''
'''[[מדיהפירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה:09Infi1_Sol9.pdf| תרגיל 9]]'''כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)
=שאלות=ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1.
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
==שאלה==הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
אני לא בטוח במשהו: במבחן ד'אלמבר , כתוב במייזלר שהטור מתבדר אם החלוקה גדולה או שווה ל 1לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת. אני זוכר שהמתרגל פעם קיבל שהחלוקה שווה ל 1 אבל אמר שזה לא אומר כלום. אז מה נכון? תודה
===תשובה===
אני אסביר. אם <math>\forall n : \frac{a_{n+1}\sin(px)}{a_npx}\geq xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה אומר שהסדרה מונוטונית עולהלפי היינה. מכיוון שהיא חיוביתאם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, זה אומר שהיא בהכרח לא פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת לאפס ולכן הטור מתבדרל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
לעומת זאת, אם <math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1</math> מצטער אבל לא ניתן לדעת אם הטור מתכנס, משמע יש דוגמאות לשני הכיווניםממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי. הטור ההרמוני <math>\sum \frac{1}{n}</math> מקיים את התכונה הזו ומתבדר, ואילו הטור <math>\sum \frac{1}{n^2}</math> מקיים את התכונה הזו ומתכנס (<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1</math>)
==שאלה==איך אני מראה שלמשוואה tg x = x יש אינסוף פתרונות ממשיים?===תשובה===<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}tgx במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל- x= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}\frac{sinx}{cosx} - x = \pm \infty</math>1.047 (וממש המספר הזה, לא 1)
ולכן לפי משפט ערך הביניים כל ערך ממשי מתקבל בין השאיפה לאינסוף ומינוס אינסוף, וזה קורה אינסוף פעמים (לכל k). בפרט, 0 מתקבל אינסוף פעמים, ולכן אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון::<math>tgx=\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> אינסוף פעמים.
==שאלה==זה שווה ל:האם פונ' חח"ע ועל היא מונוטונית?:<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
===תשובה===ששווה ל:רציפה או לא? קח את :<math>\lim_{x על הרציונליים, ו2x על האי רציונליים, חח"ע ועל ואינה מונוטונית. \to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
אם היא רציפה, היא חייבת להיות מונוטונית לפי משפט ערך הביניים ששווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(תרגילx) ואפילו לא צריך את העל.-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=0</math>
==שאלה==נניח שיש לי פונקצייה שמוגדרת בתחום x>aוזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, ובדיוק בנק' x=a יש אילא שואף ל-רציפות בצורה של 'אסימפטוטה' - האם זו אי רציפות מסוג ראשון, או שני?0...)
===תשובה===
מה דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת <math>1^\infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה צורה של אסימפטוטהבאמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת. ההגדרה מאד מאד פשוטה:
אי רציפות סליקה: קיים גבול סופי בנקודהאוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה- <math>\lim</math> גם לשבר השני..
אי רציפות ממין ראשון: קיימים גבולות חד צדדיים סופיים בנקודהאני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד
אי רציפות ממין שני: כל מצב אחר(ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..)
:מה הכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math>
אז זה מה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math>
הדבר היחיד שאני לא בטוח לגביו:כמו שאמרתי, באמת בהקשר השאלה שלךלפי ההגיון הזה, הוא מה קורה כאשר מדברים על פונקציה בתחום הגדרה מסויםגם <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1</math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> . כלומרבמקרה זה, מה היא האי רציפות יש לך <math>1\cdot\infty-\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של פונקציה גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{xn+1}{n}\sqrtcdot n-\frac{xn-1}{n}\cdot n</math> בנקודה אפס. מצד אחד לפי ההגדרה שרשמתי למעלה בשיטה שלך זה מין שני כי לא קיים הגבול החד צדדי משמאל0 זהותית. מצד שניבמציאות, אם נחליף את הנקודה ב0 נקבל פונקציה רציפה ב(אינסוף,0], אז זה נשמע כמו סליקהשווה בדיוק 2. אז אני באמת לא בטוח מה ההגדרה במקרה כזה הבנתי.תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב)
==שאלה==
איך אפשר להוכיח שאם יש לי סדרה רציתי לבדוק אם אני צודק: <math>a_n</math> המתכנסת לדורשים למצוא נקודות אי-0, אזי רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות: <math>\frac{\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}}{n} = 0</math> (כלומר הוכחה לפי הגדרת הגבול) ?
===תשובה===יש טעות בשאלה. הרי הטור בוודאי לא חייב להתכנס, ולכן אין הגדרה כלל לחלוקה הנ"ל, ובפרט אין גבול.1) <math>\frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}</math>
===תשובה===לא הבנתי איך זה קשור שהטור לא מתכנס...בכל מקרה מה שרשמת זה ההממוצע החשבוני של 2) <math>\ a_n </math>,והוכחנו בהרצאה שהממוצע החשבוני של <math>\ a_n </math> מתכנס לאותו גבול כמו <math>\left\frac{e^{a_n-\right\}_frac{n=1}{x^2}}}{2+\infty}</math> לכן אם הגבול של <math>sin\left(\tfrac{a_n\right\2}_{n=1x}^{\inftyright)}</math> הוא 0 זה גם הגבול של הממוצע החשבוני :)
בשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון?
מוכיחים את המשפט של השוויון בין הגבולות (בצורה כללית) בעזרת משפט שטולץ.===תשובה=== http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A9%D7%98%D7%95%D7%9C%D7%A5#.D7.A0.D7.99.D7.A1.D7.95.D7.97_.D7.94.D7.9E.D7בראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל.A9.D7.A4יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון.D7שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא מוגדרת.98
הטעות היא שלפי מה שכתבת, זה נראה כאילו דיברת על סכום של הטור האינסופי עד אינסוף (כאיבר אחד) נחלק ל-n (שהוא מה שרץ) ואז כמו שנאמר, זה לא ממש מוגדר. וכמו שאמרו, ההוכחה בעזרת שטולץ היא די פשוטה
:אפשר גם להוכיח בעזרת סנדוויץ'? לומר שהביטוי גדול שווה מסדרת המינימומים וקטן שווה מסדרת המקסימומים, שהם תתי סדרה של an ולכן הגבול שלהם הוא 0, ולכן גם הביטוי שואף ל0?
==שאלה==בתחילת הקורס נאמר שיש חובת הגשה של 80 אחוז. לא הגשתי את התרגילים 7בשני זה נכון,8 מפני שלא יכלתי להגיע לאוניברסיטה בזמן חופשת הסמסטר. האם וזו אכן נקודת אי הגשת שני תרגילים אלה יורד לי ציון?-הרציפות היחידה. :אפשר להגיש אותם גם ביום ראשוןכן, בראשון התבלבלתי..תודה רבה!
==שאלה==
תהי סדרה anאפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(\log(x)\big)</math> רבמ"ש בקטע הפתוח <math>(0,-\infty)</math> . אם הגבול של anאני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- <math>0^2 קיים ושווה למס' ממשי כלשהו+</math> , מה זה אומר לי לגבי הגבול של an? הוא לא חייב להיות קיים, נכון? אבל במידה וכן: הוא יכול להיות פלוס מינוס השורש של הגבול הנאז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, ואלו האפשרויות היחידות, נכון?לא ממש הולך לי...)
===תשובה===
בדיוק. תמיד התת סדרה המורכבת מהשליליים של an תתכנס למינוס השורשמה לא הולך? <math>x_n=e^{\pi-2\pi n}\ , ותת הסדרה של החיוביים תתכנס לשורש\ y_n=e^{-2\pi n}</math> . אם המספר הינו אפסשתי הסדרות שואפות ל-0, אז גם an תתכנס בהכרח לאפסולכן המרחק ביניהן שואף ל-0.:מגניבאבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-. אבל שוב, זה לא דורש שיהיה קיים גבול לan נכון?
::אם יש סדרות חלקיות שמתכנסות לגבולות שונים ברור שאין גבול. וכמו שאמרתי, אם הגבול המקורי הוא אפס אז כן חייב להיות הגבול אפס גם של an.
== שאלה ==מה המשמעות האינטואיטיבית(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0,1)</גאומטרית של רציפות במידה שווהmath> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> , לא?:(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש...
===תשובה===מה ::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא רציפות? פונקציה הינה רציפה אם באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול שלה בנקודה הוא הערך שלה בנקודהאינו קיים בצד הסופי, כלומר שבכל נקודה היא אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת לערך שלה בנקודהעליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות. :לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1. :האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש...תודה לעונה!
מידה שווה יכולה לדבר על גבולות באופן כלליאסור. המילה "מידה" מתכוונת למהירות ההתכנסותאין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד. כלומר כמה מהר הפונקציה מגיעה לגבול שלה בנקודה. ואיך ניתן למדוד מהירות התכנסות? על ידי כמה קטן הדלתא שנדרש על מנת שהפונקציה תהיה במרחק אפסילון מסויים מהגבול. אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא.
כעת, המילה "שווה" אומרת שה"מידה" כלומר מהירות ההתכנסות שווה בכל נקודה בקטע בו יש רציפות במידה שווה. כלומר, לכל אפסילון, קיים דלתא, כך שאם ניקח מסדרון באורך דלתא איפשהו על ציר x, הפונקציה זה לא תצא בתוכו ממסדרון באורך אפסילון בציר y. ובמיליםבחומר, הפונקציה מתכנסת פחות או יותר באותה מהירות לגבול שלה תודה בכל נקודה בקטעמקרה.!
==שאלה==
האם יש דרך למדוד למה מתכנס הטור משהו שנורא מבלבל אותי.נניח שיש לי את הפונקציה: <math>f(-1x)=e^n*1/n{lnx}</math>?
ועוד שאלה לא קשורה: זה ארז שעוזר לנו כאן בכל השאלות או המתרגלים האחרים באינפי?מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-X
יש לי דה ז'ה וו שמישהו עונה לי ואומר לי כן אבל לא אומר לי איךמצד שני, אז בבקשה תגידו גם איך :)אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.מה עושים???
:כן. דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(זה שארז עונה. ואני באמת לא יודע איך הוא עושה את זה D: \pi x)}{\pi x}</math>אז בבקשה תענה לי. במחשבון אני מקבל שהוא שווה ל-(-0.69),
::כן אבל התכוונתי לתשובה ממש עם נוסחאות ומשפטים.===תשובה===לומדים לגזור!<math>[e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1</math> חח אופס, סליחה.
==שאלה - קיום גבול חד-צדדירבמ"ש==איך אפשר להפריך קיומו של גבול חד צדדי? למשלנכון, בפונקצייה sinחפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(1/x) : =xsinx רבמ"ש. האם מותר לי לומר שהגבול החד צדדי של 0 מימין שווה ממש לגבול של sin(לקחת x) כאשר x שואף לאינסוף, אם קייםy שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d</math>(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?
===תשובה===
עושים את זה באלגנטיות באמצעות סדרות והגדרת הגבול לפי היינהבוודאי שלא.למשל <math>x=2000\pi, y=2000\pi + \pi/2, d = \pi/2</math> אז יוצא ש<math>|xsinx-ysiny|= 2000\pi + \pi/2</math>
לוקחים שתי סדרות <math>0\leq x_n,y_n \rightarrow 0</math>. אם היה גבול חד צדדי מימין, לפי היינה <math>f(x_n),f(y_n) \rightarrow L</math> כאשר L הינו הגבול. אבל אנחנו נבנה סדרות כך שאחרי הפעלת הפונקציה עליהן נגיע לגבולות '''שונים''' בסתירה להגדרה הגבול לפי היינה.
הסדרות במקרה זה הינן הטריק הוא בגדול לקחת <math>x_1=x,x_2=x+h</math> ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.
<math>x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>=שאלה - טורים==ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X::נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn:ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B:מגדירים סדרה חדשה, CN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1,a2,a3,...:האם סיגמא CN מתכנס?
<math>y_n = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>==תשובה===לא של ארז:מקווה שזה נכון:סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתוןולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס.
וכמובן ש <math>\forall n: f(x_n)=1,f(y_n)=-1</math> עבור <math>f=sin(\frac{1}{x})</math>
==שאלה - רציפות במידה שווה==היום בתרגול עם ראובן הוזכר משפט על רציפות במידה שווה שמעולם :מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא שמעתי עליו, אם לא מצאתי אותו בהרצאות או בספר : אם f רציפה, וקיים עבורה גבול סופי כש-x שואף לפלוס\מינוס אינסוף נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n=(שניהם קיימים), אזי f רציפה במידה שווה.מאיפה הגיע המשפט הזה? ולמה הוא נכון?:תיקון - מצאתי אותו, והוא מנוסח כך : f רבמ"ש בקטע (a,b1) ^n/n<==/math> הפונק' f רציפה בקטע זה, וקיימים גבולות חד צדיים ל-a ו-bולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n... השאלה שלי היא : הוא גם עובד עבור a או b שהם אינסופיים, נכון? ודבר שני, אם קיים גבול שהוא אינסוף לפונק' כאשר היא שואפת ל-b, למשל (לאחד מהם) - האם זה בהכרח סותר את רבמ"שיות הפונקצייה?
==שאלה==
שאלה מהמבחן של ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:
תהי an סדרה מתכנסת כך ש: <math>s={an: n - belong - to - N}</math> כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית.
צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am.
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
===תשובה===
1. אם פונקציה רציפה ב(aS הינה קבוצת כל האיברים בסדרה,b) ואחד מהם או שניהם הוא אינסוף אבל יש לה גבולות בקצות הקטע היא רציפה במ"שוהיא סופית. בצד הסופי, נניח a, זה אומר שניתן להשלים אותה לפונקציה רציפה בקטע כלומר איבר בסדרה יכול להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (a,b]. בצד האינסופי, אם לפונקציה יש גבול זה אומר שהחל ממקום מסוים M המרחק שלה מהגבול קטן מאפסילון, ובפרט המרחק בין כל שני <math>f(x_1איבר מתוך S),f(x_2)</math> קטן מפעמים אפסילון, ללא תלות כלל במרחק בין <math>x_1,x_2</math>. לכן מפרידים את הפונקציה ל<math>[a,M]</math> שזה קטע סגור וחסום לכן הפונקציה רציפה בו במ"ש ולכן יש דלתא לאפסילון ו<math>[M,\infty)</math> שם ראינו שהמרחק קטן מפעמים אפסילון בלי שום קשר לדלתא, ולכן הפונקציה רציפה באיחוד הקטעים במ"ש. אם שני הצדדים אינסופיים מחלקים את הפונקציה לשלוש וההוכחה דומה.
כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר <math>\epsilon = Min(D)/2>0</math>. כעת, לפי תנאי קושי, קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math>
אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</math> אבל
2. אם בצד הסופי הגבול הינו אינסוף הפונקציה אינה רציפה במ"ש, מכיוון שלפי משפט אם f אינה חסומה בקטע חסום אזי היא אינה רציפה שם במ"ש. אם הגבול הוא אינסוף באינסוף אי אפשר לדעת כי <math>x|a_n-a_m|</math> הינה כזו, והיא רציפה במ"ש, ואילו \epsilon <math>x^2Min(d)</math> אינה רציפה במ"שוזו סתירה.
:סבבה תודה רבה, הבהרת לי את העניין בצורה מלאה - עכשיו הצלחתי לטפל בכ"כ הרבה תרגילים שלא הצלחתי קודם, ואיכשהו באותם תרגילים שיוצא ששואף לאינסוף באינסוף - ההוכחה צריכה להיות בצורה פורמלית והיא מסתדרת בקלות!
::בשמחה. שים לב רק לנקודה חשובה (זלצמן מטעה בה בכוונה תמיד) אם הפונקציה אינה רציפה בקטע היא בוודאי אינה רציפה בו במ"ש גם אם הגבולות קיימים בקצוות. למשל <math>sin(1/x)</math> ===מבחן של ראובן===איפה יש לה גבולות בפלוס מינוס אינסוף אבל בוודאי היא אינה רציפה במ"ש כי יש לה אי רציפות ב0. (היא גם לא רציפה במ"ש בקטע (0,אינסוף)את המבחן שלו משנה שעברה?
==שאלות גבוליות על מקרי-קיצון==*נניח שיש לי פונקצייה, כמו logx. ידוע שהיא מוגדרת רק עבור x>0, אז האם אי-הרציפות ב-x=0 נחשבת לרציפות מסוג שני? (מפני שהגבול השמאלי לא קיים)*אם יש לי פונקצייה כמו f(x)=\frac{1}{|x|} (כלומר, יש לה 'אסימפטוטה' ב-x=0 ששואפת לפלוס-אינסוף משני הצדדים), האם מדובר באי-רציפות מסוג שני? (הגבול השמאלי והימני לא סופיים, ולכן כביכול לא קיימים?) או שאולי באי-רציפות סליקה (מה שממש לא נראה לי - למרות ששני הגבולות שווים)*אם בשאלה השנייה שלי התשובה הנכונה היא הראשונה, אז האם אפשר להסיק שבכל מקרה בו אומרים "אם קיים הגבול", בלי לומר מילה על 'גבול במובן הרחב', בכל הקשור לפונקציות\גבולות\רציפות\רבמ"ש, מתכוונים לגבול סופי?באתר של גיל
איפה זה, אפשר קישור?
http://math.ipnet.co.il
תודה
==שאלה==
באחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), מותר לי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של Q?
אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?
===תשובה===
יש תשובה בדיוק השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. אין משפט על השאלות האלה בדף הזההקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, לבין הגבולות החלקיים של סדרה המכילה את איברי הקבוצה.האם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה?
*לא יודע*הגבולות חייבים להיות קיימים וסופיים:אוקיי.*תלוי בהקשר ובניסוח ובכוונת המשורר. יש לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..)
== הלצה ==חשבתי שכולנו גם זקוקים לקצת צחוק בכל הלחץ מההתכוננות לאינפי. סרטון מאוד מצחיק ומומלץ :)[http://wwwתשלח לי למייל בקצרה, אני אגיד לך אם צדקת.youtube.com/watch#playnext=1&playnext_from=TL&videos=OWkvcRg0vkI&v=uqwC41RDPyg לחץ כאן]:מצחיק מאודאגב, אהבתי את הביצוע D: !מתי המבחן שלכם?
==גבול של פונקצייה==כדי להוכיח גבול של פונקצייה בנקודה, לא מספיק להראות ש''קיימת'' סדרה <math>a_n</math> ששואפת לאותה נק' וקיים גבול לסדרה המוגדרת ע"י <math>f(a_n)</math>, נכון? בעיקרון המשפט אומר ש''לכל'' סדרה התנאי צריך להתקיים. מה שכן, זה עוזר להפריך, ובדיוק בשביל זה יש לי את השאלה הבאה:::המבחן שלנו מחר :S
*תהי <math>f(x)=(cos(2x))^{\frac{1}{x^2}}</math> ::::הא, בהצלחה.. האם קיים גבול ב-x שואף ל-0, ומהו?*ד"א, אם אני רוצה להפריך קיום של גבול, האם אני יכול לעשות זאת להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל זה כבר לא באמצעות סדרות? *נניח שיש לי פונקצייה כמו <math>xsin\frac{1}{x}</math>, שאמנם מבצעת אינסוף מחזורים בסביבת אפס, אבל כולם שואפים ל-0 - ניתן לומר שהגבול הוא 0, נכון? (באופן כללי חייב להיות גבול, כי רציפות בנק' גוררת קיום של גבול בהיעזור לאף אחד :)
==שאלה==
הוכח שאם f גזירה ב-(a,b), ונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רבמ"ש שם.
(WTF?!)
===תשובה===נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, לכן קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן <math>\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}</math>. ניקח <math>\delta_n = \frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n,y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן גם להוכיח באמצעות לקחת תת סדרה של <math>x_n</math> שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרותמתכנסות <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, נקרא לו L. אבל אז <math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> כלומר שואף לאינסוף, ואני אוכיח מיד:אבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם) וזו סתירה.
* מאיפה השאלה:: אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב"זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה? אחד התלמידים שלי פתר :: ועוד משהו דומה בשיטות פשוטות, אבל אני רואה את השאלה וישר חושב לפתור אותה באמצעות כלל לופיטל (אני לא חושב שלמדתם). לכן השאלה היא אם זה בכלל בחומר שלכם או לא.למה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת?
*כן, אפשר לפריך לפי קושי, פשוט זה נראה לי יותר מסובך. למצוא סדרות ששואפות למספרים שונים, או סדרה שואפת לאינסוף הרבה יותר קל.
* אבל '''אין''' רציפות באפס, אז בוודאי זה לא גורר קיום גבול! אבל, הגבול אכן "... כך שלכל דלתא קייםזוג x,y.. קח סדרה ששואפת לאפס <math>x_n \rightarrow 0</math>. אזי <math>x_n \cdot sin\frac{1}{x_n}</math> הינה סדרה המורכבת מסדרה השואפת לאפס כפול חסומה! ולפי משפט מסדרות זה אומר שהגבול הינו אפס ללא תלות בסדרה (רק בעזרת העובדה שהיא שואפת לאפס) וזו הוכחה לפי היינה שהגבול הינו אפס" הזוג הזה.
==תת-סדרה של תת סדרה==*תהי <math>a_n</math> סדרהחסום ע"י הכוונה "קטן מ. הוכח שהיא שואפת לאפס <==> לכל תת סדרה <math>a_{n_k}</math> קיימת תת סדרה <math>a_{n_{k_j}}</math> כך שהטור <math>\sum{a_{n_{k_j}}}</math> מתכנס בהחלט."
*הוכח או הפרך ==שאלה==נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו: הסדרה <math>x_ncos\frac{1}{ln(x^2)}</math> מתכנסת ל. האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-x<math>x_00 (כפי שהיא כתובה), או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: </math> <==> לכל תת סדרה <math>x_cos\frac{n_k1}</math> יש תת סדרה <math>x_{n_{k_j}2lnx}</math> שמתכנסת ל-<math>x_0</math>.?
שאלה נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה, האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (?): הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x=1, לכן הגבול לא קיים.
אם לא, איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף?
אני אפילו ===תשובה===כמובן שהיא מוגדרת באפס. לא יודע איך לגשת לתרגילים מהסוג הזה - באילו כלים אני צריך להשתמש כאןעושים שום צעדים קדימה או אחורה. זה כמו שx/x אינה מוגדרת באפס. לא, תקרא את הדוגמאות האחרות (כמעט זהות) בנושא. בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה. ==שאלה==האם זהו משפט נכון?M = SUP A אם"ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
===תשובה===
נתחיל מהראשון. הכיוון הפשוט יותר הינו שאם לכל תת סדרה יש תת סדרה שעבורה הטור מתכנס, לכן לכל תת סדרה יש תת סדרה ששואפת לאפס (טור מתכנס -> סדרה שואפת לאפס). אבל מזה נובע שכל הגבולות החלקיים הם אפס, אחרת יש גבול חלקי שונה מאפס, יש תת סדרה ששואפת אליו, וכל תת סדרה שלה גם תשאף אליו בסתירה לכך שאחת מהן שואפת לאפס. ומכיוון שכל הגבולות החלקיים הינם אפס, גבול הסדרה הינו בהכרח אפס (limsup=liminf).
לא מדוייק
M=supA אם"ם '''M חסם עליון''' וגם e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
בכיוון השניM חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, מספיק להוכיח והתנאי עם האפסילון נותן את המשפט הבא: המינימליות של M. אם סדרה שואפת לאפס, יש לה תת סדרה שהטור שלה מתכנס (קל לראות לוגית שהמשפט הזה מספיק). ומה הטריק פה? לדלל את הסדרה המקורית... נניח הסדרה המקורית הינה <math>\frac{1}{n}</math> ברור ש<math>\frac{1}{n^2}</math> הינה תת סדרה שלה.האלגוריתם המדויק הוא כזה. ניקח את הסדרה <math>\epsilon_n</math> כך ש <math>0<\epsilon_n < \frac{1}{n^2}</math>. כעתלא היה מתקיים, לכל <math>\epsilon_n</math> קיים <math>n_{\epsilon_n}</math> כך שהחל ממנו והלאה הסדרה קטנה מ<math>\epsilon_n</math>. ניקח את האיברים המתאימים לאפסילונים לפי הסדר (לכל אפסילון נבחר את האיבר הראשון שקטן ממנו) וקל לראות לפי מבחן ההשוואה שהטור של תת הסדרה הנ"ל יתכנסאז M-e היה חסם עליון קטן יותר.
==שאלה==
האם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע [0,1) ? ורבמ"ש?
מתוך הדברים שאמרתי===תשובה===רציפה שם, קל להוכיח ברור, זה פונקציה רציפה חלקי רציפה, כאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס. היא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <s>סגור</s> חסומה בו.:אבל זה לא קטע סגור, הוא חצי פתוח O:::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את התרגיל השניהרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx תודה רבה :) ==הוכחת משפט ערך הביניים==במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה?):תהי f רציפה ב-[a,b], אזי אם <math>f(a)<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת: <math>c_n=0.5(a_n+b_n)</math>, כך שאם <math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=[c_n,b_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק' יחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש- <math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , ובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(a_n)</math> ו- <math>f(b_n)</math> שואפים להיות y. ===תשובה===זו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, אבל נכונה.
==שאלה==
אני נתקל בבעיה הזו הרבה פעמיםארז באחת השאלות למעלה אמרת: איך אומים שהסדרה לוג איקס חלקי איקס היא מונוטונית יורדת? ואיך אומרים שלוג איקס חלקי איקס שואפת לאפס?? תודה..:עבור סדרות (n טבעי) זה טרוויאלי - "אפשר להראות את זה באינדוקציה. באופן כללילהוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, בגלל אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש-e^x שואפת לכל גבול מהר יותר מכל פולינום, אז ln(x) שהוא הפעולה ההפוכה שואף לכל גבול לאט יותר מכל פולינום."
מה אני אומר במבחן? שלוג איקס חלקי איקס מונוטונית ושואפת לאפס כי...? אני יודע שזה נכון אבל כל הקורס הזה בנוי על פורמליותכפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה שווה בכל R ואין לה גבול באין- אני יכול להגיד להם שהיא שואפת מהר יותר מכל פולינום? יקבלו את זה? אתה יכול לרשום בבקשה הוכחה פורמלית? תודה.:-)סוף
::כמו שכותב התשובה אמר, באינדוקציה. אתה מעלה הכל בחזקת e (ידוע שe מונוטונית, ולכן אם מעלים בחזקת e המונוטוניות נשמרת). נותר להוכיח ש<math>e^{\frac{logn}{n} }= \frac{n}{e^n} \rightarrow 0</math>. מוכיחים באינדוקציה ש<math>\frac{n}{e^n} < \frac{1}{n}</math> כלומר <math>\frac{n^2}{e^n}<1</math> וזו לא אינדוקציה מסובכת מידי... ואז נובעת השאיפה לאפס לפי מבחן הסנדביץ, או כפי שהורוביץ מכנה אותו באיזה מובן אינסוף הינו "כריך פריךצד סופי"??
מצטער שאני משגע- הבנתי למה אן חלקי אי בחזקת אן שואף לאפס. אבל איך זה אומר לי שלוג איקס חלקי איקס מונוטונית יורדת ושואפת לאפס לאיקס טבעי בפרט ולאיקס חיובי בכלל. תודה.::אופס, הלחץ מהמבחן עושה את שלו..
:זה לא אומר את זה. זה רק אומר שזה שואף לאפס. לגבי מספר טבעי את המונוטוניות צריך להוכיח באינדוקציה מאד דומה: אם כבר הגענו לנושא הזה::: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, אני משאיר לך לחשוב על זה. לגבי איקס חיובי כללי זה לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא עונה על זה.יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?:: ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
==שאלה - רציפות במידה שווה==
נניח שיש לי פונקצייה כמו arctan(x) (ההופכית ל-tan) - האם היא מוגדרת כאשר x שואף לאינסוף? למשל, בשאלה: האם arctan(e^x) רבמ"ש בתחום (0, אינסוף), רציתי לומר שכן, כי יש לה גבולות סופיים (רבע פאי ב-0, חצי פאי באינסוף), אבל מצד שני tan של חצי פאי לא מוגדר.
:===תשובה===א. יש חצי אריתמטיקה. כפל אין (arctan(e^x היא אכן רציפה כפול x) אבל חיבור יש כמובן. בנוסף יש הרכבה, הרכבה של רציפות במ"ש כי היא רציפה על כל R ויש לה גבולות סופיים בקצוות. למי אכפת מה קורה לtan? שכן arctan הינה פונקציה רציפה על כל R לתוך הקבוצה <math>(-\pi/2,\pi/2)</math>. השאלה עצמה מוטעית במ"האם היא מוגדרת כאשר איקס שואף לאינסוף" ההגדרה לשאיפת גבול לאינסוף הינה אחת לפי קושי (או היינה, אבל הן שקולות). קל מאד לראות שכאשר איקס גדול, arctanx מתקרב לחצי פאי. בעזרת זה ניתן להוכיח שהגבול הינו חצי פאי.ש
::(עוד שאלה, לא משואל השאלה הקודמתב..)ונניח שיש לי שאלה לגבי רציפות תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש עם tan. היא לא תהיה רציפה במ"ש בכל תחום שכולל את פאי חלקי 2, נכון? כי בפרט היא לא רציפה שם סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה <math>e^{(כי אין לה גבולsinx), ולכן היא בוודאי לא ^2}</math> הינה רציפה במ"שלמשל..? (תנאי הכרחי אבל לא מספיק של רציפות במ"ש הוא רציפות)
::: תלוי בשאלה הספציפית. ב-ב' זה נכון למשל לגבי <math>tg(\frac{10}{1+x^2})</math> שאינה רציפה במ"בגלל ש אבל הפונקציה <math>tg(\frac{1}{1+x^2})</math> כן -sin רציפה במבקטע סגור, ואז היא רבמ"שבו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?
ובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית?
:::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.
::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x
::::אוקי, תודה :)
==שאלה==
לגבי רבמ"ש, יש משפט שאומר שני דברים:א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?ב) ארז, אתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר? מחר (a,bחמישי) אם היא רציפה בו ויש לה גבולות בצדדיםהמבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים. הכוונה היא לגבולות חד צדדים נכון? כלומר צ"ל שיש גבול בa+ וb-?..
===תשובה===
ראה שאלה 4אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך.11 (זהה) ושאלות דומות בדףאבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש.עכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים.. לפי ההוכחה לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם אפשר אכן להסיק שאם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה צד סופי אז זה גבול חד צדדישל פעמים הקטע וזה של הקטע, למשל הפונקציה שורש x שאין לה גבול שמאלי כלל באפסוכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון.
===שאלה===תהי an סדרה כך שקיים אפסילון>0 עבורו קיים n0 כל שאם mאני אשתדל להעלות פתרונות,n>n0 אזי <am-an> גדול שווה אפסילון. (הסימן הזה מייצג ערך מוחלט).צ"ל כל תת סדרה של an מתבדרת.זה לא בדיוק קריטריון קושי להתכנסות (בצורת השלילה)- כאילו- לפי הנתון ולפי קריטריון קושי an מתבדרתבטוח שאני אספיק מלאים, ולכן כל תת סדרה שלה שואפת לאותו גבול ולכן גם מתבדרת. אבל זה נראה לי קל מידי. איפה הקאצ'?לפחות אני אתן את העיקר
==שאלה =תשובה===שאין אף משפט שאומר שאם סדרה מתבדרת כל תת סדרה שלה "שואפת לאותו גבול". הרי זה דבר והיפוכו... אם היה נתון מתכנסת במובן הרחב זה היה סיפור אחר, אבל זה לא נתון.
בוודאי סדרות שיש להן גבולות חלקיים שונים מתבדרות ואילו ארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x}{e^x+1}</math> רבמ"ש?:היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש להן תתי סדרות מתכנסות ממש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (לא הוכחה פורמלית):::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה).:::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.:::::: רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של גבול חלקיX, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?:::::::בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)...
דבר נוסף::::::::: (מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, השלילה של קושי אומרת קיים אפסילון, כך אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש'''לכל''' n0 קיימים זוג m(או להפריך את זה..)?:::::::::: אני לא ארז,n>n0 כך השמרחק בינהם גדול שווה אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון. הניסוח למעלה הוא שונה, ויש להתייחס לכך בהתאםודלטא.
==רציפות במ"ש==
*אני יודע ש- <math>xsin\frac{1}{x}</math> אינה רציפה במ"ש (כי היא אינה רציפה - היא לא מוגדרת ב-x=0), אבל אם למשל הייתי מגדיר את אותה פונקצייה עבור x שונה מאפס, וכאשר x=0 ערך הפונקצייה יהיה 0 - היא כן הייתה במ"ש, נכון? כי גבול הפונק' מימין ומשמאל ב-x שואף ל-0 הוא אפס, וכן הגבולות שלה באינסוף ובמינוס אינסוף קיימים וסופיים - f=1.
*איך מוכיחים / מפריכים רציפות במידה שווה של : <math>f:::::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (xכמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש)=x^\frac{1}{3}</math>אבל לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור...
===תשובה=תודה! ==נכוןארז, זו אי רציפות סליקה ולכן ניתן להפוך אותה לנקודת רציפות ע"י החלפת הערך בנקודה לגבול שלה בנקודה (במקרה אמרנו את זה אפס). ואז המחליפה הינה פונקציה רציפה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל הממשיים, עם גבולות בפלוס מינוס אינסוף ולכן היא רציפה במ"ש.העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך!
:ארזאיך להגיד את זה שיינר, הפונקציה הנ"ל רציפה במ"ש בקטע הפתוח (0אם היית וקטור,אינסוף) נכון?.. לא היה אפשר לנרמל אותך כי קיים גבול מימין ב0.. (אתה פשוט לא נורמלי!אם מדובר בקטע סגור כמובן שלא כי לא ניתן לדבר על רציפות כשהפונק' לא מוגדרת.היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודהאם היית קטע, היית כל הישר.)
זו פונקציה רציפה במ"ש. ניתן להוכיח את זה באמצעות הנוסחא <math>a^3-b^3 = (a-bאם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר, אחי ;)(a^2+2ab+b^2)</math> תחשבו לבד איךבוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי ..:תודה רבה :)!*עזוב, עזוב, אי הבנה, זה הכל
==שאלה==:: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזהתהי f פונק' מונוטונית ב-(a,b), ו-<math>x_0</math> נק' אי רציפות :: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2:: בסופו של f בתחום זה. הוכח ש- <math>x_0</math> היא נק' אי רציפות מהסוג הראשון.הרעיון דבר הוא שפתרתי את התרגיל כן מתרגל (עבור מונוטוניות חלשה, הנחתי בה"כ שהיא מונוטונית עולה), וקבלתי שהיא נקודת אי רציפות סליקה, כלומר שהגבול הימני שווה לשמאלי. (הראיתי את זה לפי זה שלקחתי סדרה שואפת לאפס <math>x_n</math>, והראיתי שאם לכל <math>x_1>x_2</math> מתקיים <math>f(x_1)</math> גדול או שווה ל- <math>f(x_2(</math>, ולכן לכל x גדול מאפס בתחום ההגדרה של הפונקקבוצה א' מתקיים: <math>f(x_0+x)</math> גדול או שווה ל- <math>f(x_0-x)</math>, בפרט עבור סדרה מונוטונית יורדת וחיובית השואפת לאפס שנציב במקום x. קבלנו ש:<math>f(x_0-x_n)\le f(x_0-x_{n+1})\le f(x_0+x_{n+1})\le f(x_0+x_n)</math>, ולכן לפי הלמה של קנטור קיימת נק' יחידה ביניהם ששניהם שואפים אליה (הכוונה ל- <math>f(x_0-x_n), f(x_0+x_n)</math>), ולכן קיים גבול מימין וגבול משמאל לפי היינה שהוא c, וזו נק' אי רציפות סליקה.
מה לא נכון בהוכחה שלי? דרך אגב, האם השתמשתי נכון בלמה של קנטור?== הכרזה ==יש ציונים!!!
===תשובה===
מה שלא נכון, והוא נקודה קריטית כמובן בלמה של קנטור, מדובר על סדרה של קטעים סגורים מוכלים זה בזה ש'''אורכם שואף לאפס'''. אחרת, לפי ההוכחה שלך, גם 3=4 כי 3 קטן שווה ל4, אזי לפי הלמה של קנטור הם שווים (תסתכל על ההוכחה שלך ותראה שזה אותו דבר...).
אי הרציפות '''יכולה''' להיות סליקה, למשל קח את הפונקציה x^2/x היא מונוטונית עם נקודת אי רציפות סליקה. אבל היא בהחלט יכולה להיות מהמין השני, לדוגמא <math>\frac{x}{|x|}</math>.
== שאלה ברציפות במידה שווה ==
שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה.
רמז להוכחה הנכונה: סדרה מונוטונית וחסומההאם איקס כפול סינוס איקס, מה ניתן לומר עליה?רציפה במ"ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף..
:אני מכיר את הגרסא הזו של הלמה של קנטור (הגרסא לקטעים סגורים), אבל יש גם גרסא לסדרות, שעליה הסתמכתי: אם a_n, b_n סדרות מונוטוניות המקיימות:<math>a_n \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_n</math> וכן הגבול של <math>a_n-b_n</math> שווה לאפס, אזי קיים מספר יחיד בין שתי הסדרות ששתיהן שואפות אליו.תודה רבה!!
הבנתי את רעיון ההוכחה של התרגיל, הרעיון הוא להראות שקיים גבול מימין===תשובה===קח 2 סדרות<math>x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, וקיים גבול משמאל, וברור שהגבול מימין גדול או שווה לגבול משמאל אבל <math>f(לפי הרעיון שלסדרה מונוטונית וחסומה יש גבולy_n). עכשיו אני מבין שזו אי רציפות סליקה או אי רציפות ממין ראשון - f(תלוי אם הגבולות שווים או לאx_n), = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> אבל עכשיו רק מעניין אותי לדעת איפה הטעות שלי בהבנת הלמה של קנטור לסדרותהביטוי הזה שואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים... תודה!!!
:ציטוט שלך '''"וכן הגבול של <math>a_n-b_n</math> שווה לאפס"''' זה מה שאתה לא מוכיח ב"הוכחה" שלך למעלה.:תודה רבה ארז! אתה תותח!
==שאלהבקשר למשפט על רציפות במידה שווה ==סדרה חיובית שהגבול שלה הוא 0 היא לאו דווקא מונוטונית, נכון?קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:נכוןפונקציה שרציפה בקטע (a,b) (כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה. תסתכל על גרף אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא כמו המכשיר שבודק דופק בבית חוליםבודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק תעשה שהקווים ישאפו לאפס..את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.:קח סדרה כזו: <math>a_n=\frac{1}{n}</math> עבור n שלא מתחלק ב-3למה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, ו- <math>a_n=\frac{2}{n}</math> עבור n שכן מתחלק ב-3כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?).ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?תודה רבה!!
==שאלה==
יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא.
נתונה הפונקציה:
<math>(p*sin(x)-sin(p*x))/x(cos(x)-cos(p*x))</math>
===תשובה===<math>sin(1/x)</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר X שואף ל-0היא לא רציפה (מסיבה של תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול.
כאשר p הוא פאיכן, פשוט לא ידעתי איך לכתוב את זהכי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש.
פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם* הבנתי לגמרי עכשיו, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)תודה ענקית!! :]
ואז בצד אחד היה לי sinx חלקי X וזה == שאלה בנושא רציפות במידה שווה 1.==בצד שני היה לי sinpx חלקי רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X אז פשוט כפלתי וחילקתי ב-P ואז בגלל ש-X שואף ל-רציפה במידה שווה בR. אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0, גם PX שואף לאפס מה שאומר שגם sinPX חלקי PX שואף ל-1וכשX<0..תודה רבה!!!!
===תשובה===כן להפריד למקרים, ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד זו הרכבה של רציפות במ"ש. את השנישורש איקס אפשר להוכיח לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד.
הבעיה היא במה שאמרתי על sinpx ו-PX כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת* הבנתי, תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב..
לכן == משפט הערך הממוצע ==שלום, רציתי לדעת איך לפתור את זה באמתבבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה. .? תודה רבה :]
===תשובה===בהתחשב בעובדה שאינפי 2 כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה. משפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' (ולא כחלק מסמיסטר א'...) * לא הסברתי טוב, אני יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודהעל התשובה.. == תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של (x*cos(1/x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0).לעניות דעתי צריך להפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים? (כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון).אודה לך על תשובתך!
===תשובה===
sinpx/px אכן שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. קל לראות את אם החיסור בינהן שווה אפס אז זה לפי היינה. אם x_n אותה סדרה ששואפת לאפס אזי גם x_n/p סדרה ששואפת לאפס, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות שsinx/x שואף לאחדואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת לאחד. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים)יתקיים.
ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה מחר.
= תודה מקרב לב
מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות..
במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, לא 1)בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..?
אני אכתוב לך 2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון:<math>\frac{\pi sin(x)-sin(\pi x)}{x(cos(x)-cos(\pi x))}</math>שאני בוחר?
==שאלה==רציתי לבדוק אם אני צודק:דורשים למצוא נקודות אי רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות3) רבמ"ש:איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (בטח להפריך)
14) <math>cosרבמ"ש: איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (xלפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..)/|cos(x)|</math>
2) <math>e^(-1/x^2) / 2+sin(2/x)</math>אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :]
בשתיהן יצא לי שאפס היא אי רציפות סליקה.===תשובה===זה נכון?1,2 אלה שאלות למרצה.
===תשובה=== בראשון אפס '''אינה''' נקודת אי רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט אחד, מינוס אחד או לא מוגדרת3.זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו
4. זה להפריך, אפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו <math>n</math>. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.
* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!!
בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי הרציפות היחידה.
כן==שאלה==במועד ב' באינפי 1, בראשון התבלבלתי..ניתן להשתמש בכלל לופיטל?תודה רבה!לא בטוח באיזה קורס, אבל אם לא למדתם את זה באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן