אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "כידוע אין שורש ממשי למספר <math>-1</math>. כלומר <math>\sqrt{-1}\notin \mathbb{R}</math>. בתחילת הקורס נלמד על מבנ...")
 
אין תקציר עריכה
שורה 3: שורה 3:
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל <math>-1</math>: שדה המספרים המרוכבים!
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל <math>-1</math>: שדה המספרים המרוכבים!


אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? נסמן <math>i=\sqrt{-1}</math>/ המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה <math>a+bi</math> כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>.  כלומר, <math>\mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\}</math>. שימו לב שכמובן
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
 
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
 
2. איך לחבר ביניהם.
 
3. איך להכפיל ביניהם.
 
נסמן ב <math>i</math> איבר מסויים, ונגדיר <math>i\cdot i=-1</math>. במילים אחרות <math>i=\sqrt{-1}</math>. המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה <math>a+bi</math> כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>.  כלומר, <math>\mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\}</math>. שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים <math>b=0</math>.
 
חיבור: <math>(a+bi)+(x+yi):=(a+x)+(b+y)i</math>.
 
כפל: <math>(a+bi)\cdot (x+yi):=(ax-by)+(ay+bx)i</math>.
 
לדוגמא: נסמן <math>z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i</math>. נקבל <math>z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i</math>, וכן <math>z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i</math>.

גרסה מ־13:22, 8 באוקטובר 2018

כידוע אין שורש ממשי למספר [math]\displaystyle{ -1 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \sqrt{-1}\notin \mathbb{R} }[/math].

בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל [math]\displaystyle{ -1 }[/math]: שדה המספרים המרוכבים!

אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:

1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.

2. איך לחבר ביניהם.

3. איך להכפיל ביניהם.

נסמן ב [math]\displaystyle{ i }[/math] איבר מסויים, ונגדיר [math]\displaystyle{ i\cdot i=-1 }[/math]. במילים אחרות [math]\displaystyle{ i=\sqrt{-1} }[/math]. המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R} }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\} }[/math]. שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים [math]\displaystyle{ b=0 }[/math].

חיבור: [math]\displaystyle{ (a+bi)+(x+yi):=(a+x)+(b+y)i }[/math].

כפל: [math]\displaystyle{ (a+bi)\cdot (x+yi):=(ax-by)+(ay+bx)i }[/math].

לדוגמא: נסמן [math]\displaystyle{ z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i }[/math], וכן [math]\displaystyle{ z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i }[/math].