משפט ההגדרה: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
 
(3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:


=משפט ההגדרה=
=משפט ההגדרה=
יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math>.


אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\rightarrow W</math> המקיימת:
יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים).


<math>Tv_1=w_1</math>
אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
 
:<math>\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align}</math>
<math>Tv_2=w_2</math>
 
:<math>\vdots</math>
 
<math>Tv_n=w_n</math>


=הוכחה=
=הוכחה=
יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B
יהי <math>\mathbf{v}\in V</math>. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>
 
:<math>\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n</math>
::<math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.
לכן ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי
 
:<math>T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n</math>
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי
קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>).
 
::<math>Tv=a_1w_1+...+a_nw_n</math>.
 
 
קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).
 
 
נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:


::<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv</math>
נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>), מתקיים:
:<math>\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}</math>
ולכן <math>S=T</math>.


ולכן S=T.
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

גרסה אחרונה מ־18:16, 27 בפברואר 2021

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} }[/math] בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ W }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ \mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n }[/math] וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים).

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:

[math]\displaystyle{ \begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align} }[/math]

הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n }[/math]

לכן ניתן להגדיר היטב העתקה [math]\displaystyle{ T }[/math] על ידי

[math]\displaystyle{ T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n }[/math]

קל מאד להראות כי [math]\displaystyle{ T }[/math] המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר [math]\displaystyle{ T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i }[/math]).

נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] יחידה. אמנם, אם [math]\displaystyle{ S }[/math] העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר [math]\displaystyle{ S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i }[/math]), מתקיים:

[math]\displaystyle{ \begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ S=T }[/math].