משפט ההגדרה: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
|||
(3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 2: | שורה 2: | ||
=משפט ההגדרה= | =משפט ההגדרה= | ||
יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{ | יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math>. | ||
יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים). | |||
<math> | אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת: | ||
:<math>\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align}</math> | |||
<math> | |||
=הוכחה= | =הוכחה= | ||
יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B | יהי <math>\mathbf{v}\in V</math>. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math> | ||
:<math>\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n</math> | |||
לכן ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי | |||
:<math>T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n</math> | |||
לכן | קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>). | ||
קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל | |||
::<math>\ | נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>), מתקיים: | ||
:<math>\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}</math> | |||
ולכן <math>S=T</math>. | |||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] |
גרסה אחרונה מ־18:16, 27 בפברואר 2021
חזרה למשפטים בלינארית
משפט ההגדרה
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} }[/math] בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ W }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ \mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n }[/math] וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים).
אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:
- [math]\displaystyle{ \begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align} }[/math]
הוכחה
יהי [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n }[/math]
לכן ניתן להגדיר היטב העתקה [math]\displaystyle{ T }[/math] על ידי
- [math]\displaystyle{ T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n }[/math]
קל מאד להראות כי [math]\displaystyle{ T }[/math] המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר [math]\displaystyle{ T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i }[/math]).
נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] יחידה. אמנם, אם [math]\displaystyle{ S }[/math] העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר [math]\displaystyle{ S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i }[/math]), מתקיים:
- [math]\displaystyle{ \begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align} }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ S=T }[/math].