אלגברה לינארית - ארז שיינר: הבדלים בין גרסאות בדף
(76 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=חומר עזר= | =חומר עזר= | ||
*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]] | *[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]] | ||
*[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים באלגברה לינארית 1]] | *[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1]] | ||
=סרטוני ותקציר הרצאות= | =סרטוני ותקציר הרצאות= | ||
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-s2FLlORO26_lglSVhtF-Fy פלייליסט של כל הסרטונים] | |||
==פרק 1 - שדות== | ==פרק 1 - שדות== | ||
===הגדרה ותכונות של שדה=== | ===הגדרה ותכונות של שדה=== | ||
שורה 36: | שורה 39: | ||
====הגדרת המספרים המרוכבים==== | ====הגדרת המספרים המרוכבים==== | ||
*<math>\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math> | *<math>\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math> | ||
*<math>(a,b)+(c,d)=(a+b | *<math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math> | ||
*<math>(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math> | *<math>(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math> | ||
שורה 49: | שורה 52: | ||
*הגדרות עבור <math>z=a+b\cdot i</math> | *הגדרות עבור <math>z=a+b\cdot i</math> | ||
**<math>\overline{ | **<math>\overline{z}=a-b\cdot i</math> | ||
**<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> | **<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> | ||
**<math>Re(z)=a</math> | **<math>Re(z)=a</math> | ||
שורה 247: | שורה 250: | ||
*<math>\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)</math> | *<math>\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)</math> | ||
*<math>(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A</math> וכן <math>\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B</math> | *<math>(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A</math> וכן <math>\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B</math> | ||
*<math>(\alpha \beta)A=\alpha(\beta A)</math> | |||
שורה 299: | שורה 303: | ||
*דוגמא: לא קיימות מטריצות | *דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות <math>A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> כך ש <math>AB-BA=I</math> | ||
**<math>tr(AB-BA)=0</math> אך <math>tr(I)=n\neq 0</math> | **<math>tr(AB-BA)=0</math> אך <math>tr(I)=n\neq 0</math> | ||
שורה 385: | שורה 389: | ||
*מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות: | *מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות: | ||
#סגירות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V</math> | #סגירות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V</math> | ||
#חילופיות: <math>\forall u,w\in V | #חילופיות: <math>\forall u,w\in V:u+w=w+u</math> | ||
#אסוציאטיביות (קיבוץ): <math>\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v</math> | #אסוציאטיביות (קיבוץ): <math>\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v</math> | ||
#נייטרלי לחיבור: <math>\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v</math> | #נייטרלי לחיבור: <math>\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v</math> | ||
שורה 402: | שורה 406: | ||
<videoflash>OLYp1kVAPrA</videoflash> | <videoflash>OLYp1kVAPrA</videoflash> | ||
===תתי מרחבים=== | ===תתי מרחבים=== | ||
שורה 508: | שורה 511: | ||
<videoflash>7xoVNM3OX2A</videoflash> | <videoflash>7xoVNM3OX2A</videoflash> | ||
*יהיו <math>v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n</math>. | |||
*הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה <math>x_1v_1+...+x_kv_k=0_V</math> הוא שכל הסקלרים הם אפסים. | |||
**בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות <math>x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix}</math> | |||
*לכן אם נשים את הוקטורים '''בעמודות''' מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש '''פתרון יחיד''' כלומר <math>N(A)=\{0_v\}</math> | |||
*באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם <math>v\in span\{v_1,...,v_k\}</math>: | |||
**נשים את הוקטורים <math>v_1,...,v_k</math> '''בעמודות''' מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים. | |||
**הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון. | |||
שורה 513: | שורה 528: | ||
===בסיס ומימד=== | ===בסיס ומימד=== | ||
*לֶמת ההחלפה של שטייניץ | |||
*יהי <math>V</math> מ"ו ותהיינה <math>A\subseteq V</math> בת"ל וכן <math>B\subseteq V</math> פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>). | |||
*אזי לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>b\notin A\setminus \{a\}</math> וגם הקבוצה <math>(A\setminus \{a\})\cup \{b\}</math> בת"ל. | |||
<videoflash>_vIuR0AuJ68</videoflash> | <videoflash>_vIuR0AuJ68</videoflash> | ||
*יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>B\subseteq V</math> קבוצה פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>) כך ש <math>|B|=n</math> (כלומר יש בה n וקטורים). | |||
*תהי בנוסף <math>A\subseteq V</math> קבוצה בת"ל, אזי <math>|A|\leq |B|</math> (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת). | |||
<videoflash>nHeL8a3KNhs</videoflash> | |||
*הגדרת בסיס: | |||
*יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> קבוצת וקטורים. | |||
*אם <math>S</math> בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר <math>sp(S)=V</math>) אזי היא נקראת '''בסיס''' למרחב <math>V</math>. | |||
*יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית <math>B\subseteq V</math> שפורשת את כל המרחב <math>sp(B)=V</math>). | |||
*אזי קיים לו בסיס סופי. | |||
*כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים. | |||
*כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות '''המימד''' של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים <math>dim(V)=|B|</math>. | |||
*כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד. | |||
<videoflash>UR9LnbO4QGE</videoflash> | |||
====העשרה==== | |||
*לכל מרחב וקטורי יש בסיס. | |||
*ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M. | |||
*נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B. | |||
*B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן) | |||
*B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה. | |||
<videoflash>qzUDzq2pB1Q</videoflash> | |||
====משפט השלישי חינם==== | ====משפט השלישי חינם==== | ||
*יהי <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math> ותהי <math>S\subseteq V</math>. | |||
*אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו<math>S</math> מהווה בסיס למרחב <math>V</math>. | |||
**<math>S</math> בת"ל | |||
**<math>S</math> פורשת (כלומר <math>sp(S)=V</math>) | |||
**<math>|S|=n</math> (כלומר כמות הוקטורים ב<math>S</math> שווה למימד) | |||
<videoflash>PuWBn0h7POQ</videoflash> | |||
*יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב. | |||
*אם <math>\dim (U)=\dim (V)</math> אזי <math>U=V</math> | |||
<videoflash>Ab1UEuTwM_U</videoflash> | |||
====תרגול==== | ====תרגול==== | ||
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5|תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד]] | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5|תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד]] | ||
===משפט המימדים=== | ===משפט המימדים=== | ||
<math>sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B)</math> | |||
<videoflash>eLO8bpTu3N4</videoflash> | |||
*<math>\dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W)</math> | |||
<videoflash>47JbbBo48BA</videoflash> | |||
שורה 530: | שורה 611: | ||
<videoflash>N-NLiHVo3_0</videoflash> | <videoflash>N-NLiHVo3_0</videoflash> | ||
===שלושת מרחבי המטריצה | ===שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים=== | ||
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> | |||
**<math>R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n</math> | |||
**<math>C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> | |||
**<math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n</math> | |||
<videoflash>KC3s33u3x4o</videoflash> | |||
*<math>R(AB)\subseteq R(B)</math> | |||
*<math>C(AB)\subseteq C(A)</math> | |||
<videoflash>WWcHqqshzlo</videoflash> | |||
*על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות. | |||
*על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות. | |||
<videoflash>W3jcV4O-FLc</videoflash> | |||
*ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס. | |||
*לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים. | |||
<videoflash>XKutm8q2elw</videoflash> | |||
====תרגול==== | ====תרגול==== | ||
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|תרגול בנושא מרחבי המטריצה]] | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|תרגול בנושא מרחבי המטריצה]] | ||
===דרגה של מטריצה=== | |||
*בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות. | |||
<videoflash>pMNQF8yucGs</videoflash> | |||
*כל הגדלים הבאים שווים: | |||
**דרגה של מטריצה | |||
**מימד מרחב העמודות | |||
**מימד מרחב השורות | |||
**מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת | |||
**מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית | |||
*כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים. | |||
*ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים). | |||
<videoflash>K3GRdLnuVm4</videoflash> | |||
==פרק 5 - העתקות לינאריות== | ==פרק 5 - העתקות לינאריות== | ||
===העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות=== | ===העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות=== | ||
* | |||
*יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>. | |||
*פונקציה <math>T:V\to W</math> נקראת '''העתקה לינארית''' אם לכל <math>v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F}</math> היא מקיימת: | |||
**<math>T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2</math> | |||
**<math>T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1</math> | |||
*שימו לב לסימון <math>Tv_1=T(v_1)</math> | |||
<videoflash>jU5KHYC2E7s</videoflash> | |||
====פעולות בין העתקות לינאריות==== | |||
*הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית | |||
*סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית | |||
*הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית | |||
<videoflash>YxwGnruuVzk</videoflash> | |||
===גרעין ותמונה=== | ===גרעין ותמונה=== | ||
====משפט הדרגה==== | |||
* תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית | |||
** הגרעין <math>\ker T=\{v\in V|Tv=0_W\}</math> הוא תת מרחב של התחום <math>V</math> | |||
** התמונה <math>Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\}</math> היא תת מרחב של הטווח <math>W</math> | |||
*ההעתקה <math>T:V\to W</math> חח"ע אם ורק אם <math>\dim\ker T=0</math> | |||
*ההעתקה <math>T:V\to W</math> על אם ורק אם <math>\dim Im T = \dim W</math> | |||
<videoflash>8dQ9s5sLfGY</videoflash> | |||
====משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות==== | |||
*תהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס לV. | |||
*אזי <math>Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\}</math> | |||
<videoflash>jT-LlnbGFmM</videoflash> | |||
*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית אזי <math>\dim \ker T +\dim Im T = \dim V</math> | |||
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי <math>\dim N(A) + rank(A)=n</math> | |||
<videoflash>iJWnxV8jZ3A</videoflash> | |||
*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית. | |||
**אם T חח"ע אז <math>\dim V\leq \dim W</math> | |||
**אם T על אזי <math>\dim V \geq \dim W</math> | |||
**אם <math>\dim V = \dim W</math> אזי T חח"ע אם"ם T על. | |||
*העתקה לינארית נקראת גם '''הומומורפיזם'''. העתקה לינארית הפיכה נקראת '''איזומורפיזם'''. | |||
*מרחבים וקטוריים נקראים '''איזומורפייים''' זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות). | |||
*מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים. | |||
<videoflash>Y-NJvNQWFzM</videoflash> | |||
====תרגול==== | ====תרגול==== | ||
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8|תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה]] | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8|תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה]] | ||
===יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה=== | |||
*יהי V מ"ו ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV. | |||
*אזי לכל <math>x\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס: | |||
**<math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math> | |||
<videoflash>qzvrMPhp3eY</videoflash> | |||
*יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV. | |||
*תהיינה סדרת וקטורים <math>w_1,...,w_n\in W</math> לאו דווקא שונים. | |||
*אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת: | |||
**לכל i מתקיים כי <math>Tv_i=w_i</math> | |||
<videoflash>NvTFxVhaenY</videoflash> | |||
===מטריצה מייצגת העתקה=== | ===מטריצה מייצגת העתקה=== | ||
<videoflash>IOYMxNgkQoY</videoflash> | |||
====קואורדינטות==== | |||
==== | *יהי V מ"ו ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV. | ||
*לכל <math>v\in V</math> נגדיר את '''וקטור הקואורדינטות לפי B''' להיות הסקלים מההצגה היחידה: | |||
**<math>[v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix}</math> אם ורק אם <math>v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n</math> | |||
*מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס! | |||
<videoflash>wi8TNSA5Los</videoflash> | |||
*נגדיר פונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> ע"י <math>Tv=[v]_B</math>, אזי T היא איזומורפיזם. לכן | |||
**<math>[a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B</math> | |||
**הסדרה <math>u_1,...,u_k\in V</math> בת"ל אם ורק אם הסדרה <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל | |||
**<math>v\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם ורק אם <math>[v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math> | |||
<videoflash>VSpBzsMVgMw</videoflash> | |||
====משפט קיום ויחידות==== | ====משפט קיום ויחידות==== | ||
*יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>. | |||
*נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו. | |||
*נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו. | |||
*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית. | |||
*אזי: | |||
**'''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' <math>[T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המקיימת: | |||
**לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>[T]_C^B[v]_B=[Tv]_C</math> | |||
*על מנת למצוא את המטריצה המייצגת: | |||
**נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום. | |||
**נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח. | |||
**נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת. | |||
*<math>[T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> | |||
<videoflash>iglkE9qqy84</videoflash> | |||
====המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית==== | |||
==== | *יהיו <math>V,W</math> מ"ו ממימד סופי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math> עם בסיסים <math>B,C</math> בהתאמה. | ||
*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, ויהי סקלר <math>\alpha\in\mathbb{F}</math> | |||
*אזי | |||
**<math>[T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C</math> | |||
**<math>[\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C</math> | |||
**<math>[S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B</math> | |||
**ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת <math>[T]^B_C</math> הפיכה | |||
***אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי <math>[T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1}</math> | |||
<videoflash>EYU0bMBYEJM</videoflash> | |||
====מטריצות מעבר בין בסיסים==== | ====מטריצות מעבר בין בסיסים==== | ||
*<math>[I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2}</math> | |||
*<math>\left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C</math> | |||
<videoflash>FIoJr-dRk9Y</videoflash> | |||
===שלוש צורות הצגת ההעתקה=== | |||
*ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים: | |||
**נוסחא מפורשת | |||
**לפי בסיס | |||
**בעזרת מטריצה מייצגת | |||
<videoflash>ouEdwylqPiQ</videoflash> | |||
=====תרגול===== | =====תרגול===== | ||
שורה 565: | שורה 852: | ||
===תמורות=== | ===תמורות=== | ||
===הגדרת הדטרמיננטה=== | *נגדיר את אוסף התמורות <math>S_n</math> להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה <math>\{1,2,...,n\}</math> לעצמה. | ||
*לכל תמורה (פונקציה) <math>f\in S_n</math> נגדיר את סימן התמורה <math>sign(f)=\Pi_{i<j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i}</math> | |||
*תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1. | |||
*כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי <math>sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g)</math> | |||
*עבור תמורת הזהות <math>I\in S_n</math> מתקיים כי<math>sign(I)=1</math> | |||
<videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash> | |||
*חילוף הוא תמורה <math>(i\ j)\in S_n</math> המחליפה בין האיברים <math>i,j</math> ושולחת את שאר האיברים לעצמם. | |||
*חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית). | |||
*מחזור הוא תמורה <math>(p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k)</math> וסימנו הוא <math>(-1)^{k-1}</math> | |||
*המחזור שולח כל איבר <math>p_{i-1}</math> ל<math>p_i</math>, את <math>p_k</math> ל<math>p_1</math> ואת שאר האיברים לעצמם. | |||
*כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה. | |||
<videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash> | |||
===הגדרת הדטרמיננטה ותכונות=== | |||
*עבור מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את הדטרמיננטה: | |||
**<math>det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)}</math> | |||
<videoflash>iS2k9gdW51A</videoflash> | |||
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ויהיו <math>1\leq i\neq j\leq n</math> כך ש <math>R_i(A)=R_j(A)</math> אזי <math>det(A)=0</math> | |||
*כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס. | |||
<videoflash>OJG5zEfaJRE</videoflash> | |||
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהי <math>B</math> המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על <math>A</math> אזי: | |||
**אם פעולת הדירוג היא <math>R_i+a\cdot R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=|A|</math> | |||
**אם פעולת הדירוג היא <math>a\cdot R_i</math> אזי <math>|B|=a\cdot |A|</math> | |||
**אם פעולת הדירוג היא <math>R_i \leftrightarrow R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=-|A|</math> | |||
<videoflash>QpfCfN5K8VY</videoflash> | |||
===חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות=== | |||
*עבור מטריצה משולשית <math>A</math> מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון. | |||
*מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. | |||
*לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי <math>|AB|=|A|\cdot |B|</math> | |||
<videoflash>kaM3ugX7izs</videoflash> | |||
===דטרמיננטת המשוחלפת=== | |||
*<math>|A^t|=|A|</math> | |||
*פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות | |||
=== | |||
<videoflash>i6tF0z_cXN8</videoflash> | |||
===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה=== | |||
*<math>A_{ij}</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה. | |||
*הדטרמיננטה <math>|A_{ij}|</math> נקראית '''מינור'''. | |||
*לכל i מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math> | |||
*לכל j מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math> | |||
<videoflash>Yb1rS4lNyWk</videoflash> | |||
===מטריצה נלווית=== | |||
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את המטריצה הנלווית <math>adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ע"י: | |||
**<math>[adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}|</math> | |||
*מתקיים כי <math>A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I</math> | |||
*אם A הפיכה מתקיים כי <math>A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)</math> | |||
*מתקיים כי <math>|adj(A)|=|A|^{n-1}</math> | |||
<videoflash>yAnz13JHpK8</videoflash> | |||
===כלל קרמר=== | ===כלל קרמר=== | ||
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''הפיכה''' ויהי <math>b\in\mathbb{F}^n</math> וקטור קבועים. | |||
*אזי הפתרון היחיד <math>\vec{x}=(x_1,...,x_n)</math> למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=b</math> מקיים כי: | |||
*לכל i ערך המשתנה נתון ע"י <math>x_i =\frac{|A_i|}{|A|}</math> | |||
*כאשר <math>A_i</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי החלפת העמודה ה<math>i</math> בוקטור הקבועים <math>b</math> | |||
*במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה. | |||
*במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר. | |||
<videoflash>1Avy8_3DzdU</videoflash> | |||
===תרגול=== | ===תרגול=== |
גרסה מ־07:30, 18 ביולי 2023
חומר עזר
- סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016
- מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - שדות
הגדרה ותכונות של שדה
- שדה הוא קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] יחד עם שתי פעולות [math]\displaystyle{ +,\cdot }[/math] כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות: לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b,a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]
- קומוטטיביות (חילופיות): לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b=b+a }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a }[/math]
- אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c }[/math]
- נייטרליים: קיימים [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a }[/math]
- נגדיים: לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] קיים נגדי [math]\displaystyle{ -a\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a+(-a)=0_{\mathbb{F}} }[/math]
- הופכיים: לכל [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F} }[/math] קיים הופכי [math]\displaystyle{ a^{-1}\in \mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}} }[/math]
- דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c }[/math]
- יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot b=0_{\mathbb{F}} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=0_{\mathbb{F}} }[/math] או [math]\displaystyle{ b=0_{\mathbb{F}} }[/math]
- תכונות נוספות של שדות
- [math]\displaystyle{ (-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a+b=a+c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a\neq 0_{\mathbb{F}} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\cdot b = a\cdot c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]
שדות סופיים
שדה המרוכבים
הגדרת המספרים המרוכבים
- [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) }[/math]
- נסמן
- [math]\displaystyle{ a=(a,0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ i=(0,1) }[/math]
- נובע כי [math]\displaystyle{ a+b\cdot i =(a,b) }[/math]
- הגדרות עבור [math]\displaystyle{ z=a+b\cdot i }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z}=a-b\cdot i }[/math]
- [math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math]
- [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math]
- תכונות
- [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math] אם [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2\cdot Re(z) }[/math]
- [math]\displaystyle{ z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w} }[/math]
צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)
- [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
- עבור הזוית נחלק למקרים:
- אם [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right) }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{2} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=-\frac{\pi}{2} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi }[/math]
- [math]\displaystyle{ r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta) }[/math]
- עבור [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math] טבעי, ומספר מרוכב [math]\displaystyle{ a+b\cdot i\neq 0 }[/math] קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה [math]\displaystyle{ z^n=a+b\cdot i }[/math]
- הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r cis(\theta) }[/math]
- הפתרונות הם [math]\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k=0,1,...,n-1 }[/math]
תרגול
פרק 2- מערכות משוואות לינאריות
מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות
- [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\} }[/math] קבוצת הn-יות הסדורות.
- [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n\times m} }[/math] קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]
הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות
- מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ומטריצת (וקטור) קבועים [math]\displaystyle{ \vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1} }[/math].
- קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} }[/math]
פעולות דירוג אלמנטריות
- שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
- [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\neq \alpha\in\mathbb{F} }[/math] (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
- [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
- [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)
ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה
צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית
- איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.
- מטריצה נקראת מדורגת אם:
- אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
- כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.
- מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
- היא מדורגת.
- כל האיברים הפותחים שווים ל1.
- בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.
משתנים חופשיים ותלויים
- משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
- כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
- מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
- אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
- מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
- מוודאים שאין שורת סתירה.
- בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
- מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.
דירוג מטריצה עם פרמטר
הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית
תרגול
פרק 3 - אלגברת מטריצות
חיבור מטריצות וכפל בסקלר
- תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
- נגדיר את [math]\displaystyle{ A+B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij} }[/math]
- נגדיר את [math]\displaystyle{ \alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij} }[/math]
כפל מטריצות
- [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n }[/math]
- תהיינה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k} }[/math]
- נגדיר את המכפלה [math]\displaystyle{ AB\in\mathbb{F}^{n\times k} }[/math] על ידי
- [math]\displaystyle{ [AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj} }[/math]
- הוקטור [math]\displaystyle{ \vec{x} }[/math] הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים [math]\displaystyle{ A }[/math] ווקטור הקבועים [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A\cdot \vec{x}=\vec{b} }[/math]
שיטות לחישוב כפל מטריצות
- חישוב הכפל לפי עמודות
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} | & & |\\ v_1 & \cdots & v_n \\ | & & |\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ C_i(AB)=AC_i(B) }[/math]
- חישוב הכפל לפי שורות
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - & v_1 & - \\ & \vdots & \\ - & v_n & - \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ R_i(AB)=R_i(A)B }[/math]
תכונות של אלגברת מטריצות
- [math]\displaystyle{ A(B+C)=AB+AC }[/math] וכן [math]\displaystyle{ (A+B)C=AC+BC }[/math]
- [math]\displaystyle{ \alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\alpha \beta)A=\alpha(\beta A) }[/math]
- מטריצת היחידה [math]\displaystyle{ I_n\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ [I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases} }[/math]
- לכל [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ I_n\cdot A=A\cdot I_m =A }[/math]
- לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
- [math]\displaystyle{ (AB)C=A(BC) }[/math]
פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית
- פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית
שחלוף
- עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נגדיר את המטריצה המשוחלפת [math]\displaystyle{ A^t\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A^t]_{ij}=[A]_{ji} }[/math]
- [math]\displaystyle{ R_i(A^t)=C_i^t(A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ C_i(A^t)=R_i^t(A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (A^t)^t=A }[/math]
- [math]\displaystyle{ (A+B)^t = A^t+B^t }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\alpha A)^t = \alpha A^t }[/math]
- [math]\displaystyle{ (AB)^t=B^tA^t }[/math]
עקבה
- העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
- עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii} }[/math]
- תכונות העקבה:
- [math]\displaystyle{ tr(A+B)=tr(A)+tr(B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ tr(\alpha A)=\alpha tr(A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ tr(AB)=tr(BA) }[/math]
- דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ AB-BA=I }[/math]
- [math]\displaystyle{ tr(AB-BA)=0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ tr(I)=n\neq 0 }[/math]
תרגול
מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות
- מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות [math]\displaystyle{ B,C\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ AB=I_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ CA=I_m }[/math]
- אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] ונקרא לה ההופכית של [math]\displaystyle{ A }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ AA^{-1}=I }[/math]. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת [math]\displaystyle{ A^{-1}A=I }[/math].
- תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, אזי למערכת המשוואות [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math] יש פתרון יחיד, והוא [math]\displaystyle{ \vec{x}=A^{-1}\vec{b} }[/math]
- תהיינה [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל [math]\displaystyle{ AB }[/math] מוגדר, אזי [math]\displaystyle{ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^{-1})^{-1}=A }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\neq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1} }[/math]
מטריצות פעולה
- תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
- לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] נגדיר את מטריצת הפעולה [math]\displaystyle{ f(I_n) }[/math].
- לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(I_m)\cdot A = f(A) }[/math]
- מטריצת הפעולה היא הפיכה.
- לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P\in\mathbb{F}^{m\times m} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ P\cdot A=CF(A) }[/math]
בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית
- מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם [math]\displaystyle{ B\neq 0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ AB=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ BA=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה
- אם ב[math]\displaystyle{ A }[/math] השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל [math]\displaystyle{ B }[/math] כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב[math]\displaystyle{ AB }[/math] היא שורת אפסים.
- ב[math]\displaystyle{ BA }[/math] לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
- מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
- מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.
- מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] ריבועיות כך ש[math]\displaystyle{ AB=I }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A^{-1}=B }[/math]
- תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ריבועיות אזי [math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות שתיהן
- דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} }[/math]
אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית
- תהי מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]
- נדרג את מטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] קנונית.
- אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של [math]\displaystyle{ A }[/math] יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
- אחרת, הצורה הקנונית של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא [math]\displaystyle{ I }[/math] ולכן היא הפיכה.
- הגענו למטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math].
תרגול
תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה
פרק 4 - מרחבים וקטוריים
הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים
- מרחב וקטורי [math]\displaystyle{ V }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V }[/math]
- חילופיות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V:u+w=w+u }[/math]
- אסוציאטיביות (קיבוץ): [math]\displaystyle{ \forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v }[/math]
- נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ \exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v }[/math]
- נגדיים: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V }[/math]
- נייטרלי לכפל בסקלר: [math]\displaystyle{ \forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v }[/math]
- דיסטריביוטיביות (פילוג): [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w }[/math]
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F},u\in V }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ \alpha u = 0_V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \alpha=0_\mathbb{F} }[/math] או [math]\displaystyle{ u=0_V }[/math]
- כמו כן, [math]\displaystyle{ (-1_\mathbb{F})u=-u }[/math]
תתי מרחבים
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
- אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] נקרא תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של [math]\displaystyle{ V }[/math].
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
- אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- [math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math]
- לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in U }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ v_1+\alpha v_2\in U }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ N(A)\subseteq\mathbb{F}^n }[/math] הינה תת מרחב וקטורי.
- קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.
- אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.
- אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.
חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
- [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].
- [math]\displaystyle{ U\cup W }[/math] תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ U\subseteq W }[/math] או [math]\displaystyle{ W\subseteq U }[/math].
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
- נגדיר את סכום תתי המרחבים:
- [math]\displaystyle{ U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ U+W }[/math] הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ U,W\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ U,W\subseteq U+W\subseteq T }[/math]
- [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב[math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T\subseteq U,W }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ T\subseteq U\cap W\subseteq U,W }[/math]
- דוגמא:
- [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ U+W=V }[/math]
- ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
- [math]\displaystyle{ (4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1) }[/math]
- סכום ישר:
- יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- [math]\displaystyle{ V=U+W }[/math]
- [math]\displaystyle{ U\cap W =\{0_V\} }[/math]
- משפט:
- [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם ורק אם לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה [math]\displaystyle{ v=u+w }[/math] כסכום של רכיבים מU ומW.
- כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.
תרגול
פרישה ותלות לינארית
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
- וקטור [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] נקרא צירוף לינארי של הקבוצה [math]\displaystyle{ S }[/math] אם [math]\displaystyle{ x=0_V }[/math] או קיימים וקטורים בקבוצה [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וסקלרים מהשדה [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]
- כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
- אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא [math]\displaystyle{ span(S) }[/math].
- טענה: יהי V מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ S }[/math]. כלומר:
- [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] תת מרחב וקטורי
- לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ S\subseteq span(S)\subseteq T }[/math]
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי n-ית וקטורים [math]\displaystyle{ (v_1,...,v_n)\in V^n }[/math]. אומרים שהוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] (לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס [math]\displaystyle{ a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V }[/math].
- אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
- קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] נקראת תלוייה לינארית אם קיימים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וקטורים שונים שתלויים לינארית.
- יהיו [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n }[/math].
- הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=0_V }[/math] הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
- בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix} }[/math]
- לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר [math]\displaystyle{ N(A)=\{0_v\} }[/math]
- באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם [math]\displaystyle{ v\in span\{v_1,...,v_k\} }[/math]:
- נשים את הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
- הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.
בסיס ומימד
- לֶמת ההחלפה של שטייניץ
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהיינה [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] בת"ל וכן [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
- אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b\notin A\setminus \{a\} }[/math] וגם הקבוצה [math]\displaystyle{ (A\setminus \{a\})\cup \{b\} }[/math] בת"ל.
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] קבוצה פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]) כך ש [math]\displaystyle{ |B|=n }[/math] (כלומר יש בה n וקטורים).
- תהי בנוסף [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] קבוצה בת"ל, אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).
- הגדרת בסיס:
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] קבוצת וקטורים.
- אם [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math]) אזי היא נקראת בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] שפורשת את כל המרחב [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
- אזי קיים לו בסיס סופי.
- כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
- כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים [math]\displaystyle{ dim(V)=|B| }[/math].
- כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.
העשרה
- לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
- ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
- נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
- B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
- B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.
משפט השלישי חינם
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
- אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו[math]\displaystyle{ S }[/math] מהווה בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].
- [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל
- [math]\displaystyle{ S }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math])
- [math]\displaystyle{ |S|=n }[/math] (כלומר כמות הוקטורים ב[math]\displaystyle{ S }[/math] שווה למימד)
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב.
- אם [math]\displaystyle{ \dim (U)=\dim (V) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ U=V }[/math]
תרגול
משפט המימדים
[math]\displaystyle{ sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W) }[/math]
תרגול
הצגה פרמטרית ואלגברית
שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]
- [math]\displaystyle{ C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math]
- [math]\displaystyle{ N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]
- [math]\displaystyle{ R(AB)\subseteq R(B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ C(AB)\subseteq C(A) }[/math]
- על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
- על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.
- ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
- לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.
תרגול
דרגה של מטריצה
- בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.
- כל הגדלים הבאים שווים:
- דרגה של מטריצה
- מימד מרחב העמודות
- מימד מרחב השורות
- מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
- מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית
- כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.
- ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).
פרק 5 - העתקות לינאריות
העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות
- יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
- פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] נקראת העתקה לינארית אם לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] היא מקיימת:
- [math]\displaystyle{ T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1 }[/math]
- שימו לב לסימון [math]\displaystyle{ Tv_1=T(v_1) }[/math]
פעולות בין העתקות לינאריות
- הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
- סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
- הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית
גרעין ותמונה
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית
- הגרעין [math]\displaystyle{ \ker T=\{v\in V|Tv=0_W\} }[/math] הוא תת מרחב של התחום [math]\displaystyle{ V }[/math]
- התמונה [math]\displaystyle{ Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\} }[/math] היא תת מרחב של הטווח [math]\displaystyle{ W }[/math]
- ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] חח"ע אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim\ker T=0 }[/math]
- ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] על אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim Im T = \dim W }[/math]
משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות
- תהי העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס לV.
- אזי [math]\displaystyle{ Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\} }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית אזי [math]\displaystyle{ \dim \ker T +\dim Im T = \dim V }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \dim N(A) + rank(A)=n }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
- אם T חח"ע אז [math]\displaystyle{ \dim V\leq \dim W }[/math]
- אם T על אזי [math]\displaystyle{ \dim V \geq \dim W }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ \dim V = \dim W }[/math] אזי T חח"ע אם"ם T על.
- העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
- מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפייים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
- מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.
תרגול
יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה
- יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
- אזי לכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
- [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]
- יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
- תהיינה סדרת וקטורים [math]\displaystyle{ w_1,...,w_n\in W }[/math] לאו דווקא שונים.
- אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:
- לכל i מתקיים כי [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]
מטריצה מייצגת העתקה
קואורדינטות
- יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
- לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלים מההצגה היחידה:
- [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n }[/math]
- מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!
- נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ Tv=[v]_B }[/math], אזי T היא איזומורפיזם. לכן
- [math]\displaystyle{ [a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B }[/math]
- הסדרה [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k\in V }[/math] בת"ל אם ורק אם הסדרה [math]\displaystyle{ [u_1]_B,...,[u_k]_B }[/math] בת"ל
- [math]\displaystyle{ v\in span\{u_1,...,u_k\} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ [v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\} }[/math]
משפט קיום ויחידות
- יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
- נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
- נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית.
- אזי:
- קיימת מטריצה יחידה [math]\displaystyle{ [T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] המקיימת:
- לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T]_C^B[v]_B=[Tv]_C }[/math]
- על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
- נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
- נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
- נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.
- [math]\displaystyle{ [T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math]
המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית
- יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו ממימד סופי מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם בסיסים [math]\displaystyle{ B,C }[/math] בהתאמה.
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית, ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
- אזי
- [math]\displaystyle{ [T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C }[/math]
- [math]\displaystyle{ [\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C }[/math]
- [math]\displaystyle{ [S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B }[/math]
- ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ [T]^B_C }[/math] הפיכה
- אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1} }[/math]
מטריצות מעבר בין בסיסים
- [math]\displaystyle{ [I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C }[/math]
שלוש צורות הצגת ההעתקה
- ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
- נוסחא מפורשת
- לפי בסיס
- בעזרת מטריצה מייצגת
תרגול
- תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
- תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
- תרגול נוסף בנושא העתקות
פרק 6 - דטרמיננטות
תמורות
- נגדיר את אוסף התמורות [math]\displaystyle{ S_n }[/math] להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה [math]\displaystyle{ \{1,2,...,n\} }[/math] לעצמה.
- לכל תמורה (פונקציה) [math]\displaystyle{ f\in S_n }[/math] נגדיר את סימן התמורה [math]\displaystyle{ sign(f)=\Pi_{i\lt j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i} }[/math]
- תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.
- כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי [math]\displaystyle{ sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g) }[/math]
- עבור תמורת הזהות [math]\displaystyle{ I\in S_n }[/math] מתקיים כי[math]\displaystyle{ sign(I)=1 }[/math]
- חילוף הוא תמורה [math]\displaystyle{ (i\ j)\in S_n }[/math] המחליפה בין האיברים [math]\displaystyle{ i,j }[/math] ושולחת את שאר האיברים לעצמם.
- חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).
- מחזור הוא תמורה [math]\displaystyle{ (p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k) }[/math] וסימנו הוא [math]\displaystyle{ (-1)^{k-1} }[/math]
- המחזור שולח כל איבר [math]\displaystyle{ p_{i-1} }[/math] ל[math]\displaystyle{ p_i }[/math], את [math]\displaystyle{ p_k }[/math] ל[math]\displaystyle{ p_1 }[/math] ואת שאר האיברים לעצמם.
- כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.
הגדרת הדטרמיננטה ותכונות
- עבור מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר את הדטרמיננטה:
- [math]\displaystyle{ det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)} }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ 1\leq i\neq j\leq n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ R_i(A)=R_j(A) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ det(A)=0 }[/math]
- כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ B }[/math] המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על [math]\displaystyle{ A }[/math] אזי:
- אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ R_i+a\cdot R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=|A| }[/math]
- אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ a\cdot R_i }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=a\cdot |A| }[/math]
- אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=-|A| }[/math]
חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות
- עבור מטריצה משולשית [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.
- מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.
- לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי [math]\displaystyle{ |AB|=|A|\cdot |B| }[/math]
דטרמיננטת המשוחלפת
- [math]\displaystyle{ |A^t|=|A| }[/math]
- פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות
נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה
- [math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] היא המטריצה המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.
- הדטרמיננטה [math]\displaystyle{ |A_{ij}| }[/math] נקראית מינור.
- לכל i מתקיים כי [math]\displaystyle{ det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]
- לכל j מתקיים כי [math]\displaystyle{ det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]
מטריצה נלווית
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר את המטריצה הנלווית [math]\displaystyle{ adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ע"י:
- [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}| }[/math]
- מתקיים כי [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I }[/math]
- אם A הפיכה מתקיים כי [math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A) }[/math]
- מתקיים כי [math]\displaystyle{ |adj(A)|=|A|^{n-1} }[/math]
כלל קרמר
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] הפיכה ויהי [math]\displaystyle{ b\in\mathbb{F}^n }[/math] וקטור קבועים.
- אזי הפתרון היחיד [math]\displaystyle{ \vec{x}=(x_1,...,x_n) }[/math] למערכת המשוואות [math]\displaystyle{ A\vec{x}=b }[/math] מקיים כי:
- לכל i ערך המשתנה נתון ע"י [math]\displaystyle{ x_i =\frac{|A_i|}{|A|} }[/math]
- כאשר [math]\displaystyle{ A_i }[/math] היא המטריצה המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי החלפת העמודה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] בוקטור הקבועים [math]\displaystyle{ b }[/math]
- במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
- במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.