אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית: הבדלים בין גרסאות בדף
שורה 1: | שורה 1: | ||
=אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית= | =אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית= | ||
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים. פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה. | תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים. | ||
'''פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.''' | |||
==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>== | ==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>== |
גרסה מ־08:56, 1 ביולי 2011
אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים.
פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.
מצב ראשון [math]\displaystyle{ deg(p)=deg(q)-1 }[/math]
אזי ניתן למצוא קבוע c כך ש [math]\displaystyle{ h=cp-q' }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ deg(h)\lt deg(q)-1 }[/math].
אז רושמים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} }[/math]
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני [math]\displaystyle{ deg(p)\lt deg(q)-1 }[/math]
אזי נפרק את q לגורמים אי פריקים:
[math]\displaystyle{ q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j} }[/math]
כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים: