הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/29.5.11"
מ (←פתרון) |
מ (←פתרון) |
||
שורה 31: | שורה 31: | ||
ראשית נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. יהי <math>0<x_0<1</math> ולכן <math>\left|x^n\right|\le x_0^n</math> לכל <math>x\in[0,x_0]</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty x_0^n</math> מתכנס כי <math>0<x_0<1</math> והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,x_0]</math>. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^x t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}</math>. כמו כן, ברור כי <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln|1-t|]_{t=0}^x=-\ln(1-x)</math>, ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}=-\frac1x\ln(1-x)</math>. | ראשית נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. יהי <math>0<x_0<1</math> ולכן <math>\left|x^n\right|\le x_0^n</math> לכל <math>x\in[0,x_0]</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty x_0^n</math> מתכנס כי <math>0<x_0<1</math> והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,x_0]</math>. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^x t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}</math>. כמו כן, ברור כי <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln|1-t|]_{t=0}^x=-\ln(1-x)</math>, ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}=-\frac1x\ln(1-x)</math>. | ||
− | עתה, אם <math>x>1</math> אזי <math>\frac1x\in(0,1)</math> ולבסוף {{left|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}&=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}\\&=\frac1{1-\tfrac1x}-\left(-\frac1{1/x}\ln\left(1-\frac1x\right)\right)\\&=\frac x{x-1} | + | עתה, אם <math>x>1</math> אזי <math>\frac1x\in(0,1)</math> ולבסוף {{left|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}&=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}\\&=\frac1{1-\tfrac1x}-\left(-\frac1{1/x}\ln\left(1-\frac1x\right)\right)\\&=\frac x{x-1}+x\ln\left(\frac{x-1}x\right)\end{align}</math>}} {{משל}} |
==דוגמה 3== | ==דוגמה 3== |
גרסה מ־15:32, 30 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
סכומי טורים
תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-
, אז f אינטגרבילית ומתקיים
. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות:
סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-
המתכנסת בנקודה אחת לפחות
ל-
. אם
סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-
אז
גזירה
.
באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה, לדוגמה: יהי טור של פונקציות רציפות ב-
המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום
, אזי טור המספרים מתכנס ומתקיים
.
גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו פונציות גזירות רציפות ב-
כך שהטור
מתכנס ב-
ל-
אם טור הנגזרות
מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים
.
דוגמה 1
- הוכיחו שלכל
מתקיים
.
פתרון
ידוע ש-
עתה יהיוש-
(לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע
ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס:
לכל
. אם
אזי
מתכנס ולכן
מתכנס במ"ש.
ונסתכל על הקטע מהצורה
, שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ולכן
- חשבו
.
פתרון
נעזר בסעיף 1. ברור כי
נמצא בקטע
, ולכן נציב:
.
דוגמה 2
חשבו את סכום הטור עבור
.
פתרון
נשים לב כי , ולפיכך מספיק לחשב את
.
ראשית נוכיח שהטור מתכנס במ"ש ב-
. יהי
ולכן
לכל
. כמו כן
מתכנס כי
והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור
מתכנס במ"ש ב-
. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר:
. כמו כן, ברור כי
, ולכן
.
![x>1](/images/math/3/d/3/3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png)
![\frac1x\in(0,1)](/images/math/c/1/c/c1c7d105fa2630019f1ae313aa836f38.png)
![\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}&=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}\\&=\frac1{1-\tfrac1x}-\left(-\frac1{1/x}\ln\left(1-\frac1x\right)\right)\\&=\frac x{x-1}+x\ln\left(\frac{x-1}x\right)\end{align}](/images/math/1/d/f/1dfa521bd45660fd9adcc167ec9b7d5c.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
דוגמה 3
מהו סכום הטור עבור
?
פתרון
נשים לב שאם נגדיר אזי
. כמו כן
. נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש-
יתכנס במ"ש.
נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם אז יש
ולכן
. הטור
טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי).
נסיק שהטור מתכנס במ"ש ולכן
וגם
. לסיכום
, ולפיכך
.
טורי חזקות
רדיוס ההתכנסות של טור חזקות הוא
, והוא מתכנס בהחלט ב-
. לגבי התכנסות בקצוות הקטע, יש לבדוק בנפרד.
דוגמה 4
מצאו את תחום התכנסות של הטור .
פתרון
אכן מדובר על טור חזקות כי כאשר המקדם הכללי הוא . לכן רדיוס ההתכנסות הוא
. ז"א כאשר
הטור מתכנס. נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות
. עבור
הטור הוא
, שמתבדר כי הוא גדול מ-
. עבור
ברור שהטור מתכנס, לפי משפט לייבניץ. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא
.
דוגמה 5
מצאו את תחום ההתכנסות של .
פתרון
נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר . נקבל את הטור
. במקרה הזה נצטרך לחשב
(ולא סתם
).
ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא
. עבור
הטור הוא
, שגם שואף לאינסוף כי
זוגי לכל
. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא
.