הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"
מתוך Math-Wiki
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
=אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית= | =אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית= | ||
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>. | תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>. |
גרסה מ־09:36, 18 במרץ 2012
תוכן עניינים
אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב
.
עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
מצב ראשון ![deg(p)=deg(q)-1](/images/math/e/e/e/eeeef230fe58ddf0e37d696d924a84cd.png)
ניתן למצוא קבוע c כך ש כך ש
.
אז רושמים
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני ![deg(p)<deg(q)-1](/images/math/a/a/3/aa3dfca554f970e675e154fa0f5da624.png)
- נפרק את q לגורמים אי פריקים:
- כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
- נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים
.
- נחשב כל מחובר בנפרד:
אינטגרל מהצורה ![I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}](/images/math/6/e/2/6e25c037c1802225ced141de0d1f7104.png)
נבצע הצבה על מנת לקבל:
אינטגרל מהצורה
(כאשר המכנה אי פריק)
- דבר ראשון, נבצע את המצב הראשון באלגוריתם על מנת לצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה
- שנית, נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל
- כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה
- נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
מצב שלישי ![deg(p)=deg(q)](/images/math/9/8/f/98f777794dc7abc1200752e48790ff3e.png)
- קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים
וגם
.
- נפריד את האינטגרל לשניים
- נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
מצב רביעי ![deg(p)>deg(q)](/images/math/5/e/6/5e6534da00927bbbc9614bd172e5054c.png)
- נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא
כאשר מתקיים
- מתקיים
- נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.