הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←המשפט) |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף א') |
||
שורה 16: | שורה 16: | ||
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>. | נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>. | ||
− | לכן מתקיים<math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. | + | לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. |
כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 . | כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 . |
גרסה מ־21:03, 27 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-
. נגדיר גם:
. אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו
רציפה,
גזירה ו-
.
ג) אם רציפה בכל
, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ:
.
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו-
"קטן" כך ש-
. לפי הגדרה:
ולכן
.
נתון ש-f חסומה, נגיד
.
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה
כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי
קיימת ושווה ל-
.