הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
− | + | הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות. | |
− | + | שלב א': | |
− | + | ||
+ | כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>. | ||
+ | |||
+ | אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה. | ||
+ | |||
+ | שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה. | ||
+ | כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים) | ||
+ | |||
+ | מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>. | ||
+ | |||
+ | שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>. | ||
+ | |||
+ | אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>. | ||
+ | |||
+ | הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>. | ||
+ | |||
+ | קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש | ||
+ | |||
+ | <math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות. | ||
+ | |||
+ | אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים. | ||
+ | |||
+ | לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה). | ||
+ | |||
+ | שלב ה: סיום | ||
+ | |||
+ | נותר רק לכפול משמאל את | ||
+ | |||
+ | <math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>. | ||
+ | |||
+ | ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>. | ||
+ | |||
+ | ולקבל | ||
+ | |||
+ | <math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math> | ||
+ | |||
+ | היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית. | ||
+ | |||
+ | קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT) |
גרסה מ־17:44, 27 באוגוסט 2012
הוכחה לטענה ש הפיכה ניתן להציג את כמכפלת מטריצות אלמנטריות.
שלב א':
כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים
שלב ב': הוכחת .
אם היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.
שלב ג': מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה. כי לכל מטריצה שהיא (נניח ש היא שורת האפסים)
מתקיים לפי כפל שורה שורה .
שלב ד': נתחיל להוכיח את .
אם הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא .
הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של ב .
קיימות מטריצות אלמנטריות כך ש
.
הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.
אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא או שיש בה שורת אפסים.
לכן . (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).
שלב ה: סיום
נותר רק לכפול משמאל את
.
ב .
ולקבל
היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.
קיבלנו ש היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--איתמר שטיין 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT)