88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "=מרחבים וקטורים= דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבו...") |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבור''' | דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבור''' | ||
<math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math> ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math> הוא מרחב וקטורי. | |||
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא. | ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא. | ||
שורה 14: | שורה 14: | ||
אקסיומות מרחב וקטורי: | אקסיומות מרחב וקטורי: | ||
'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:''' | #'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:''' | ||
לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים | לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים | ||
# מוגדרות: <math>v+w\in V</math> . | ## מוגדרות: <math>v+w\in V</math> . | ||
#קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> . | ##קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> . | ||
#חילוף: <math>v+u=u+v</math> . | ##חילוף: <math>v+u=u+v</math> . | ||
#איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> . | ##איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> . | ||
#איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> . | ##איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> . | ||
'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה | #'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה | ||
'''אקסיומות כפל בסקלאר''' | #'''אקסיומות כפל בסקלאר''' | ||
לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים | לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים | ||
#מוגדרות <math>\alpha v\in V</math> | ##מוגדרות <math>\alpha v\in V</math> | ||
#קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math> | ##קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math> | ||
#כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math> | ##כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math> | ||
# פילוג: | ## פילוג: | ||
##<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math> | ###<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math> | ||
## <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math> | ### <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math> | ||
טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. | טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. |
גרסה מ־12:07, 9 ביולי 2015
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\} }[/math] עם חיבור [math]\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) }[/math] וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) }[/math] הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה [math]\displaystyle{ (V,\mathbb{F},+,\cdot) }[/math], כאשר
- [math]\displaystyle{ V }[/math] היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר [math]\displaystyle{ +:V\times V \to V }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של [math]\displaystyle{ V }[/math] וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר ([math]\displaystyle{ \cdot }[/math]) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
פורמאלית [math]\displaystyle{ \cdot : \mathbb{F}\times V \to V }[/math].
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב [math]\displaystyle{ V }[/math]:
לכל [math]\displaystyle{ v,w,u\in V }[/math] מתקיים
- מוגדרות: [math]\displaystyle{ v+w\in V }[/math] .
- קיבוץ: [math]\displaystyle{ v+(u+w)=(v+u)+w }[/math] .
- חילוף: [math]\displaystyle{ v+u=u+v }[/math] .
- איבר נטרלי: [math]\displaystyle{ \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v }[/math] .
- איבר נגדי: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 }[/math] .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה -בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר
לכל [math]\displaystyle{ v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
- מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha v\in V }[/math]
- קיבוץ: [math]\displaystyle{ \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v }[/math]
- כפל ביחידה (של השדה): [math]\displaystyle{ 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v }[/math]
- פילוג:
- [math]\displaystyle{ \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v }[/math]
טרמינולוגיה: אומרים ש [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
איברי [math]\displaystyle{ V }[/math] נקראים וקטורים. איברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1 [math]\displaystyle{ (-1_{F})v=(-v) }[/math]
.2 [math]\displaystyle{ 0_{F}v=0_{V} }[/math]