הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏דוגמאות ודוגמאות נגדיות)
(←‏דוגמאות ודוגמאות נגדיות)
שורה 16: שורה 16:
 
   
 
   
  
−
==דוגמאות ודוגמאות נגדיות ==
+
==דוגמאות ==
  
 
1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>.  תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
 
1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>.  תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
שורה 32: שורה 32:
  
 
<math>tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) </math>
 
<math>tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) </math>
 +
  
 
3. <math>V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]</math> שניהם מעל <math>\mathbb{R}</math>. אזי העתקה <math>D:V\to W</math>  
 
3. <math>V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]</math> שניהם מעל <math>\mathbb{R}</math>. אזי העתקה <math>D:V\to W</math>  
שורה 39: שורה 40:
  
 
<math>D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]</math>
 
<math>D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]</math>
 +
 +
 +
4. העתקת הזהות <math>I:V\to V</math> המוגדרת <math>v\mapsto v</math> היא ה"ל.
 +
 +
5. העתקת האפס <math>0:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto 0</math> היא ה"ל.
 +
 +
6. יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס אזי הפונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math>
 +
המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math> היא ה"ל.

גרסה מ־20:11, 18 ביולי 2015

העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו V,W שני מ"ו מעל אותו שדה \mathbb{F}. ה"ל היא פונקציה T:V\to W אם

  1. \forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)
  2. \forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)

(או באופן שקול: אם לכל v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2}))


תכונות בסיסיות:

.1 T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})


.2 T(0_{V})=0_{W}


דוגמאות

1. יהיו V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m} שניהם מעל \mathbb{F}. תהאA\in\mathbb{F}^{m\times n} אזי העתקה L_{A}:V\to W המוגדרת v\mapsto Av היא ה"ל.

הוכחה: לכל v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים

L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})


2. V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F} שניהם מעל \mathbb{F}. אזי העתקה trace:V\to W המגודרת A\mapsto tr(A) היא ה"ל.

הוכחה: לכל \alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}

tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B)


3. V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x] שניהם מעל \mathbb{R}. אזי העתקה D:V\to W המגודרת p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x) היא ה"ל.

הוכחה:

D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]


4. העתקת הזהות I:V\to V המוגדרת v\mapsto v היא ה"ל.

5. העתקת האפס 0:V\to W המוגדרת v\mapsto 0 היא ה"ל.

6. יהי V מ"ו מעל \mathbb{F} מימד n ויהי B בסיס אזי הפונקציה T:V\to \mathbb{F}^n המוגדרת v\mapsto [v]_B היא ה"ל.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/8&oldid=62039