גרסה מ־15:04, 19 ביולי 2015

העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל אותו שדה $\mathbb{F}$ . ה"ל היא פונקציה $T:V\to W$ אם

$\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$
$\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)$

(או באופן שקול: אם לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2})$ )

תכונות בסיסיות:

.1 $T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})$

.2 $T(0_{V})=0_{W}$

דוגמאות

1. יהיו $V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$ . תהא $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ אזי העתקה $L_{A}:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto Av$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים

$L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})$

2. $V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$ . אזי העתקה $trace:V\to W$ המגודרת $A\mapsto tr(A)$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}$

$tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B)$

3. $V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]$ שניהם מעל $\mathbb{R}$ . אזי העתקה $D:V\to W$ המגודרת $p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)$ היא ה"ל.

הוכחה:

$D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]$

4. העתקת הזהות $I:V\to V$ המוגדרת $v\mapsto v$ היא ה"ל.

5. העתקת האפס $0:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto 0$ היא ה"ל.

6. יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ מימד $n$ ויהי $B$ בסיס אזי הפונקציה $T:V\to \mathbb{F}^n$ המוגדרת $v\mapsto [v]_B$ היא ה"ל.

תרגיל

יהיו $T,S:V\to W$ שתי ה"ל. $B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ בסיס ל $V$ . נניח $T(v_{i})=S(v_{i})$ לכל $1\leq i\leq n$

הוכח: $T=S$ . כלומר לכל $v\in V$ מתקיים $T(v)=S(v)$

הוכחה: יהי $v\in V$ אזי $v=\sum\limits _{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}$ כי $B$ בסיס ובפרט פורשת. ואז

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)

@@ שורה 48: / שורה 48: @@
 . יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס אזי הפונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math>
 המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math> היא ה"ל.
+== תרגיל ==
+יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי ה"ל. <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math>. נניח <math>T(v_{i})=S(v_{i})</math> לכל <math>1\leq i\leq n</math>
+הוכח: <math>T=S</math>. כלומר לכל <math>v\in V</math> מתקיים <math>T(v)=S(v)</math>
+הוכחה: יהי <math>v\in V</math> אזי <math>v=\sum\limits _{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}</math> כי <math>B</math> בסיס ובפרט פורשת.
+ואז
+<math>
+T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\
+= \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)
+</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"

גרסה מ־15:04, 19 ביולי 2015

העתקות לינאריות (ה"ל)

דוגמאות

תרגיל

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים