אינטגרציה בחלקים: הבדלים בין גרסאות בדף
(←הגדרה) |
|||
שורה 26: | שורה 26: | ||
ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם | ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעייה. | ||
<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=?</math> | <math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=?</math> |
גרסה מ־18:59, 20 ביולי 2016
הגדרה
אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:
- [math]\displaystyle{ \int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'} }[/math]
הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
- [math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f }[/math]
הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות.
(אחרת, אמנם יש קדומה ל[math]\displaystyle{ f'\cdot g+g'\cdot f }[/math], אבל לא בהכרח ל[math]\displaystyle{ f'\cdot g }[/math] ו [math]\displaystyle{ g'\cdot f }[/math] בנפרד.)
דוגמאות
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
[math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=? }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ f'=\cos(x)\ ,\ g=x }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ f=\sin(x)\ ,\ g'=1 }[/math]
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
- [math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C }[/math] .
ב. חזרה למקורות - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעייה.
[math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=? }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ I=\int{e^x\cdot\cos(x)} }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ 2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big) }[/math]
ומכאן יוצא
- [math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C }[/math] .
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כנגזרת של הפונקציה [math]\displaystyle{ x }[/math] ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=? }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2} }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]
נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
- [math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
- [math]\displaystyle{ 2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}} }[/math]
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.