הבדלים בין גרסאות בדף "חתכי דדקינד"
מתוך Math-Wiki
(←כפל חתכי דדקינד) |
(←הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד) |
||
שורה 137: | שורה 137: | ||
*לכן <math>t=xy\in AB</math>. | *לכן <math>t=xy\in AB</math>. | ||
*כיוון ש<math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> קיים <math>x<z\in A</math> ולכן <math>xy<zy\in A</math> בסתירה. | *כיוון ש<math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> קיים <math>x<z\in A</math> ולכן <math>xy<zy\in A</math> בסתירה. | ||
+ | |||
*אם <math>t\not\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> חסם מלעיל. | *אם <math>t\not\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> חסם מלעיל. | ||
+ | *נב"ש כי <math>t</math> אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו. | ||
+ | *כיוון ש <math>t\not\in AB</math> נובע כי <math>t>0</math>, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה <math>t<xy</math>. | ||
+ | *לכן <math>\frac{t}{y}<x</math>, נבחר <math>x_1 =\frac{t}{y}<x</math>. | ||
+ | *כיוון ש<math>x_1 <x</math> נובע כי <math>x_1 \in A</math>. | ||
+ | *לכן <math>t=x_1 y\in A\cdot B</math> בסתירה. | ||
===חתך היחידה=== | ===חתך היחידה=== |
גרסה מ־15:50, 26 במרץ 2022
תוכן עניינים
הקדמה
- אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה
(שורש שתיים).
- הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה
לראשית הצירים
?
- האם ייתכן שהפרבולה
עולה מהנקודה
אל הנקודה
בלי לחתוך את ציר האיקס?
- כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.
- כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה
עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
- ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
- כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה
, זו הקרן באיור.
- הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.
חתכי דדקינד
- הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה
המקיימת:
חסומה מלעיל.
- לכל
מתקיים כי
אם ורק אם
חסם מלעיל של
- הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.
- בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
- הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
- כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
- עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
- כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.
חיבור חתכי דדקינד
- יהיו שתי חתכים
, נגדיר את החיבור:
- החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי
, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים
וכן
ולכן
ו
אינו חסם מלעיל של
- יהי
שאינו חסם מלעיל של
, לכן קיימים
. כעת
כלומר
אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ
.
חתך האפס
- נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
נגדי
- יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- לדוגמא
- הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- הנגדי חסום מלעיל:
- יהי
לכן לכל
מתקיים כי
ולכן
- לכל
קיים
כך ש
ולכן
- בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של
.
- יהי
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
- לכל איבר בנגדי
לכן אמצע הקטע בין
גדול מ
וקטן מ
ולכן שייך לנגדי
ולכן
אינו חסם מלעיל.
- לכל איבר בנגדי
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
- נניח
אינו חסם מלעיל של
לכן קיים
ולכן קיים
כך ש
ולכן
- נניח
- הנגדי לא ריק:
יחס סדר
- יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
- הוכחה:
- יהיו שני חתכים A,B.
- אם קיים
חסם מלעיל של A כך ש
אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר
- אחרת, לכל
מתקיים כי
. כלומר
ולכן
- נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש
ונגדיר את החתכים השליליים על ידי
- טענה:
אם ורק אם
- הוכחה:
- ראשית נניח כי
- כלומר בעצם
ולכן לכל חסם מלעיל
מתקיים כי
.
- לכן לכל
מתקיים כי
- כלומר כל האיברים ב
שליליים, ולכן
כלומר
- כלומר בעצם
- בכיוון ההפוך, נניח כי
- לכן כל האיברים ב
שליליים.
- אם קיים
אזי
בסתירה.
- לכן כל האיברים ב
- לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר
ולכן
- ראשית נניח כי
כפל חתכי דדקינד
- יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים
, נגדיר את הכפל:
- אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
- אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
- אם A,B שליליים נגדיר:
הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד
- יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים
- ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש
- כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל
בהתאמה.
- לכל
מתקיים כי
ולכן
. זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.
- אם
צ"ל כי
אינו חסם מלעיל של
.
- אם
ברור שאינו חסם מלעיל של
כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים.
- לכן
.
- כיוון ש
אינו חסם מלעיל של
קיים
ולכן
בסתירה.
- אם
צ"ל כי
חסם מלעיל.
- נב"ש כי
אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.
- כיוון ש
נובע כי
, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה
.
- לכן
, נבחר
.
- כיוון ש
נובע כי
.
- לכן
בסתירה.
חתך היחידה
- נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.
הופכי
- אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות
- אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
שדה הממשיים
הגדרת המספרים הממשיים
- הגדרה:
הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.
- נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.
שלמות הממשיים
- תהי
קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים
כך ש
. אזי קיים ל
חסם עליון ממשי.
הוכחה
- נסמן ב
את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל
, כלומר
- נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
אינה ריקה
אינה ריקה, ולכן קיים
.
- כיוון ש
חתך דדקינד הוא אינו ריק.
ולכן
אינה ריקה
חסומה:
- כיוון ש
חסם מלעיל של
לכל
מתקיים כי
- לפי יחס הסדר מתקיים כי
.
- כיוון שלכל
מתקיים כי
נובע כי גם
.
- לכן
חסומה מלעיל.
- כיוון ש
- נוכיח כי
אם ורק אם
אינו חסם מלעיל של
- אם
אזי
- אם
חסם מלעיל של
אזי הוא בפרט חסם מלעיל של
בסתירה.
- מצד שני, אם
חסם מלעיל של
הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי
ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי
ולכן אינו שייך ל
- אם
- ברור כי לכל
מתקיים כי
כיוון ש
(כל קבוצה מוכלת באיחוד).
- נוכיח כי
הוא החסם העליון של
.
- נב"ש כי קיים
חסם מלעיל של
כך ש
.
- לכן קיים
.
- לכן קיים
כך ש
.
- לכן
בסתירה לכך ש
חסם מלעיל של