הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11"
מ (←דוגמאות) |
מ (←אינטגרל לא אמיתי, סוג II) |
||
שורה 20: | שורה 20: | ||
# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס. | # <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס. | ||
# דרך כתיבה מקוצרת: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2</math>. | # דרך כתיבה מקוצרת: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2</math>. | ||
+ | |||
---- | ---- | ||
+ | |||
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה. | לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה. | ||
שורה 32: | שורה 34: | ||
==משפט 3== | ==משפט 3== | ||
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math> קיים אם"ם f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>. | תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math> קיים אם"ם f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>. | ||
− | == | + | |
+ | ==משפט 4== | ||
עבור f אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> כך ש-<math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>. | עבור f אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> כך ש-<math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>. | ||
− | ==משפט | + | |
+ | ==משפט 5 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}== | ||
נניח שב-<math>(a,b]</math> הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן <math>0\le f(x)\le g(x)</math>. | נניח שב-<math>(a,b]</math> הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן <math>0\le f(x)\le g(x)</math>. | ||
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | * אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר. | * אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר. |
גרסה מ־14:01, 5 במאי 2011
את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג . כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה:
. כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בכל . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי
. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-
אז היא אינטגרבילית מקומית.
תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו להיות
בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-
מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר
ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
- שני האינטגרלים
מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים
מתכנסים.
- עפ"י משפט 2
מתכנס אם"ם
מתכנס. באותו אופן
מתכנס אם"ם
מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
- עפ"י משפט 2
- נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים
אז הם שווים ל-
.
- ובכן עפ"י משפט 2
וגם
. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
- ובכן עפ"י משפט 2
אינטגרל לא אמיתי, סוג II
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-
f אינטגרבילית בקטע
(למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-
). לכן נגדיר
אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל
מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע
. אם אין גבול אומרים ש-
מתבדר.
דוגמאות
- נקח
ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי
. עבור
נקבל
והאינטגרל מתבדר. עבור
נקבל
.
-
. נציב
וכן
לקבל
כלומר מתכנס.
- דרך כתיבה מקוצרת:
.
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
משפט 1
אם f ו-g אינטגרביליות ב- ואם c קבוע אז
אינטגרבילית בקטע
ומתקיים
.
משפט 2
נניח ש- ו-f אינטגרבילית מקומית ב-
. אזי f אינטגרבילית בקטע
אם"ם היא אינטגרבילית בקטע
ואם כן
.
משפט 3
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע אזי
קיים אם"ם f חסומה בקטע
.
משפט 4
עבור f אינטגרבילית מקומית ב- כך ש-
האינטגרל
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
.
משפט 5 (מבחן ההשוואה)
נניח שב- הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן
.
- אם
מתכנס אז
מתכנס.
- אם
מתבדר אז
מתבדר.