הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11"
(יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}= ==הערה== אם <math>f_n\to f</math> במ"ש על I אז לכל <math>x\in I</math> ברור שמת...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}= | =התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}= | ||
+ | |||
+ | '''תזכורת:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> (כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש-<math>f_n\to f</math> במידה שווה ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>. | ||
+ | |||
==הערה== | ==הערה== | ||
אם <math>f_n\to f</math> במ"ש על I אז לכל <math>x\in I</math> ברור שמתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון. | אם <math>f_n\to f</math> במ"ש על I אז לכל <math>x\in I</math> ברור שמתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון. | ||
שורה 8: | שורה 11: | ||
* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> | * <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\ | + | ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש. |
− | לצד השני יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> ולכן | + | לצד השני יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> עבור <math>x\in I</math>. {{משל}} |
==דוגמה== | ==דוגמה== | ||
− | בקטע <math>[0,1)</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math>. | + | [[קובץ:גרף חזקות שונות של x.png|ממוזער|300px|ימין]] |
+ | |||
+ | בקטע <math>[0,1)</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math>. | ||
+ | |||
+ | נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|=1\ne0</math>. {{משל}} | ||
+ | |||
+ | נעיר כי בקטע <math>[0,r]</math> עבור <math>r<1</math> דווקא '''יש''' התכנסות במ"ש: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>, כדרוש. {{משל}} | ||
==משפט 2== | ==משפט 2== | ||
נניח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)</math> במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. אזי גם f רציפה ב-<math>x_0</math>. | נניח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)</math> במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. אזי גם f רציפה ב-<math>x_0</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I קיים n טבעי מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\ | + | יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon3</math>. <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> ולכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac\varepsilon3</math> נובע שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon</math>. {{משל}} |
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
בתנאים של משפט 2, אם כל <math>f_n</math> רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו. | בתנאים של משפט 2, אם כל <math>f_n</math> רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו. | ||
− | + | ===דוגמה=== | |
− | בקטע <math>[0,1]</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math>. כאן כל <math>x^n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש. | + | בקטע <math>[0,1]</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math>. כאן כל <math>x^n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש. |
==משפט 3== | ==משפט 3== | ||
שורה 29: | שורה 38: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה-<math>f_n</math> רציפות למקוטעין) | + | לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה-<math>f_n</math> רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-<math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>. שקול להוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0</math>. ובכן יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I <math>\exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}</math>. נובע שלכל <math>n>n_0</math> <math>\left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon</math>. מכאן נובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0</math>. {{משל}} |
===דוגמה=== | ===דוגמה=== | ||
− | + | [[קובץ:פונקציה בין n ל-0.png|300px|ימין]] | |
− | + | משמאל נתונה הפונקציה <math>f_n</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | נוכיח כי <math>\forall x\in[0,1]:\ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>: עבור <math>x=0</math> לכל n <math>f_n(0)=0</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f_n(0)=0</math>. אם <math>x\in(0,1]</math> אז קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>\frac2{n_0}<x</math> ולכן לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\frac2n<\frac2{n_0}<x</math>, מה שגורר כי <math>f_n(x)=0</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math> ונובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. בזה הוכחנו את הטענה ש-<math>0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> נקודתית ב-<math>[0,1]</math>. {{משל}} נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי <math>\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty</math>. | |
− | + | נוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx</math> (כאשר <math>f(x)=0</math> היא הפונקציה הגבולית): לכל n {{left|<math>\int\limits_0^1 f_n=</math> השטח מתחת לגרף <math>=\frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0</math>}} {{משל}} | |
− | דוגמה נגדית: <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math> | + | השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז <math>f_n'\to f'</math> ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. |
+ | * נוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math> במ"ש בכל <math>\mathbb R</math>: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\frac{\left|\sin\left(n^2x\right)\right|}n=\frac1n\to0</math>. | ||
+ | * נוכיח <math>f_n'\not\to0'=0</math>: לכל n ולכל <math>x\in\mathbb R</math> מתקיים <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ועבור <math>x\in\mathbb R</math> כלשהו <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right)</math> שאינו קיים. {{משל}} | ||
==משפט 4== | ==משפט 4== | ||
− | תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות | + | תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in[a,b]</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in[a,b]</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-<math>[a,b]</math>. יתר על כן <math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נקח <math>x\in[a,b]</math> כלשהי. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n( | + | נקח <math>x\in[a,b]</math> כלשהי. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in[a,b]</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> וכיוון שלכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. {{משל}} |
גרסה מ־19:23, 9 במאי 2011
תוכן עניינים
התכנסות במידה שווה (המשך)
תזכורת: תהי סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל
קיים הגבול
(כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש-
במידה שווה ב-I אם לכל
קיים
כך שאם
אז
לכל
.
הערה
אם במ"ש על I אז לכל
ברור שמתקיים
, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.
משפט 1
יהיו קבוצת הפונקציות והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
-
במ"ש ב-I
-
הוכחה
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את אז יש להוכיח כי
. אבל אם
ידוע כי קיים
כך שלכל
מתקיים
לכל
. נובע מיד שאם
אז
ולכן
והוכחנו
, כדרוש.
לצד השני יהי נתון. ידוע כי קיים
כך שלכל
מתקיים
ולכן
עבור
.
דוגמה
בקטע ברור כי
.
נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: .
נעיר כי בקטע עבור
דווקא יש התכנסות במ"ש:
ולכן
, כדרוש.
משפט 2
נניח ש- במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה
כל
רציפה ב-
. אזי גם f רציפה ב-
.
הוכחה
יהי נתון.
במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל
מתקיים
.
רציפה ב-
ולכן קיים
כך שאם
אז
נובע שאם
אז
.
מסקנה
בתנאים של משפט 2, אם כל רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
דוגמה
בקטע ברור כי
. כאן כל
רציפה ב-
ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.
משפט 3
נניח שלכל n מוגדרת ואינטגרבילית ב-
ונניח שקיים
במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים
.
הוכחה
לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה- רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-
. שקול להוכיח ש-
. ובכן יהי
נתון. כיוון ש-
במ"ש על I
. נובע שלכל
. מכאן נובע ש-
.
דוגמה
משמאל נתונה הפונקציה עבור
כלשהו.
נוכיח כי : עבור
לכל n
ולכן
. אם
אז קיים
כך ש-
ולכן לכל
מתקיים
, מה שגורר כי
לכל
ונובע ש-
. בזה הוכחנו את הטענה ש-
נקודתית ב-
.
נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי
.
![\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx](/images/math/6/2/8/6281627c34406c80c047416d340e75fc.png)
![f(x)=0](/images/math/f/d/0/fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png)
![\int\limits_0^1 f_n=](/images/math/9/2/5/9257fa8680af187f9464c87338b1865b.png)
![=\frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0](/images/math/5/6/3/563fce91786953a52adf8e3fc4d0ac22.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם במ"ש ב-I אז
ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר
.
- נוכיח ש-
במ"ש בכל
:
.
- נוכיח
: לכל n ולכל
מתקיים
ועבור
כלשהו
שאינו קיים.
משפט 4
תהי סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות
בקטע
. נניח שהסדרה
מתכנסת בנקודה אחת (לפחות)
והסדרה
מתכנסת במ"ש ל-g ב-
. אזי
קיים לכל
ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-
. יתר על כן
.
הוכחה
נקח כלשהי. לכל n הפונקציה
רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר
. נעביר אגף:
. כעת נתון שקיים
, נקרא לו
. יתר על כן נתון ש-
במ"ש ב-
וכל שכן
במ"ש בתת הקטע בין
ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-
נובע שלכל
קיים
והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-
. לפי הנתון כל
רציפה ו-
במ"ש על
. לכן משפט 2 נותן ש-
רציפה ב-
וכיוון שלכל
מתקיים
החלק הראשון של המשפט היסודי נותן
לכל
.