ב. <math>(A+A^t)^t = A^t + (A^t)^t = A^t+A = A+ A^t</math> (הרי חיבור מטריצות הוא חילופי). כמו כן, <math>(A-A^t)^t = A^t - A = -(A-A^t)</math> כפי שרצינו.
===תרגיל 4.5===
א. תהי A מטריצה ריבועית ממשית (כלומר שאיבריה משדה הממשיים) אנטי סימטרית. הוכח שכל איברי האלכסון שלה שווים לאפס.
ב. האם הטענה נכונה למטריצות ריבועיות אנטי סימטריות מעל שדות אחרים? אפיין בדיוק את השדות מעליהם הטענה נכונה
====פתרון====
נביט באיבר אלכסון <math>[A]_{ii}</math>. מתוך אנטי סימטריות מתקיים ש<math>[A]_{ii}=-[A]_{ii}</math> (החלפנו את השורה והעמודה, מכיוון שהן שוות קיבלנו בדיוק את אותו האיבר).
לפי תכונות השדה שלמדנו, ניתן לחבר לשני האגפים את הנגדי ולקבל <math>[A]_{ii}+[A]_{ii}=0</math>. ולכן <math>(1+1)[A]_{ii}=0</math>. מכיוון שבשדה אין מחלקי אפס, יש שתי אפשרויות:
*<math>[A]_{ii}=0</math>
*<math>1+1=0</math>
לכן, בכל שדה ממאפיין שונה מ-2 (כלומר סכום שתי אחדות אינו אפס) קל לראות שאיברי האלכסון '''חייבים''' להיות אפס. לעומת זאת, בכל שדה ממאפיין שתים קל לראות שהמטריצה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> הינה אנטי סימטרית שכן אם <math>1+1=0</math> נובע ש<math>1=-1</math> ולכן מתקיים ש <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>. כמו כן, ברור שאיברי האלכסון של המטריצה הנ"ל שונים מאפס.