הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"
מתוך Math-Wiki
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־12:58, 24 ביולי 2011
במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:
-
הוא קבוע.
-
פונקציות.
- כל אחת מהקבוצות הבאות היא קבוצת כל הפונקציות המקיימות תכונה מסויימת בקבוצה
:
-
היא קבוצת כל הפונקציות הרציפות ב-
.
-
- מונוטוניות.
-
- מונוטוניות במובן הצר.
-
-
- חסומות.
- החסם העליון של פונקציה ב-
הוא
והתחתון -
.
- החסם העליון של פונקציה ב-
-
- אי-שליליות.
-
- חיוביות.
-
-
- אינטגרביליות.
-
- אינטגרביליות מקומית.
-
-
- אם קיימת לפונקציה פונקציה קדומה היא תסומן בעזרת האות הגדולה המתאימה (למשל, הפונקציה הקדומה של
היא
).
-
היא חלוקה
של הקטע הנתון כך ש-
.
-
היא העדנה של
.
-
היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה
כך ש-
.
-
אינטגרלים
- אם
ו-
קדומות ל-
בנקודה כלשהי אז קיים
כך ש-
.
-
.
- אם
(כלומר,
מתקבלת מ-
ע"י הוספת
נקודות) ו-
אזי
וכן
.
- לכל חלוקה
של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של
), אם
אזי
.
- לכל
מתקיים
.
- תהי
. אזי
וגם
.
- נניח ש-
.
אם"ם
.
- נניח ש-
.
אם"ם לכל
קיימת חלוקה
של
כך ש-
.
- אם
אז
.
- הכללה: אם
אזי
.
- הכללה להכללה: אם
כאשר
קבוצה סופית אזי
.
- הכללה להכללה: אם
- הכללה: אם
- אם
אז
.
- נניח ש-
. אזי
אם"ם
, ואם כן אז
.
- הכללה: עבור
כנ"ל ו-
(הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים
.
- הכללה: עבור
- אם
אז
. יתר על כן,
ו-
.
- הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
- לינאריות:
.
- מונוטוניות: אם
וכן
אז
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
אזי
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
- הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם
אז
ו-
.
- אם
אז
.
- מקרה פרטי: אם
ו-
אז
.
- מקרה פרטי: אם
(פונקציה קבועה) אז
.
- מקרה פרטי: אם
- מקרה פרטי: אם
- המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי
ותהי
כך ש-
. אזי
וכן לכל נקודה ב-
שבה
רציפה,
קדומה ל-
(כלומר,
גזירה ב-
ו-
).
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי
. אזי
.
- לכל
יש פונקציה קדומה.
- אינטגרציה בחלקים: נניח כי
רציפות. אזי
.
- שיטת ההצבה:
.
- כל פונקציה רציונלית
כך ש-
ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים
כאשר
ול-
אין שורשים ממשיים.
- נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-
בין
ל-
סביב ציר ה-
הוא
.
- הממוצע של
בקטע
הוא
.
- אורך הגרף של
בקטע
הוא
.
- שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של
סביב ציר ה-
בקטע
הוא
.
- תהינה
. אזי
ומתקיים
.
- תהא
ויהי
. אזי
אם"ם
ואם כן
.
-
. אזי
קיים אם"ם
ואם כן
.
-
. אזי
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל, ואם לא אז
.
- מבחן ההשוואה: נניח ש-
וכן
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי:
וכן
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- המבחן האינטגרלי לטורים: תהא
עבור
כלשהו. אזי
אם"ם
מתכנס.
- הכללה: בפרט מתקיים
.
- הכללה: בפרט מתקיים
- תהא
מוגדרת ב-
.
קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
- תהא
. אזי
אם"ם
.
- תהא
. אם
אז
.
- מבחן דיריכלה: תהא
ונניח שהאינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
. כמו כן תהא
ו-
. אזי
.
- סכימה בחלקים:
כאשר
.
- משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור
יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-
סדרה מונוטונית כך ש-
. אזי
מתכנס.
- אם
אז לכל
מתקיים
.
- עבור
ו-
,
אם"ם
, ואם כן
.
- תהי
. אזי
קיים אם"ם
.
- אם
אז
אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
.
- מבחן ההשוואה:
וכן
. אם
אז
.
- מבחן ההשוואה הגבולי:
וקיים
. אם
אז
.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- תהא
. אזי
אם"ם
.
- תהא
. אם
אז
.