הבדלים בין גרסאות בדף "משפט ערך הביניים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט ערך הביניים== תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע [a,b...")
 
שורה 24: שורה 24:
 
כעת, כיוון שהפונקציה רציפה, לפי היינה  
 
כעת, כיוון שהפונקציה רציפה, לפי היינה  
  
::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>. אבל כיוון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר  
+
::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>.  
 +
 
 +
אבל כיוון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר  
  
 
::<math>f(c)=0</math>
 
::<math>f(c)=0</math>

גרסה מ־10:54, 2 בפברואר 2012

חזרה למשפטים באינפי

משפט ערך הביניים

תהי f פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי לכל \alpha בין f(a),f(b) קיימת c\in[a,b] כך ש f(c)=\alpha

הוכחה

ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:

תהי f פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי אם f(a)f(b)<0 קיימת c\in[a,b] כך ש f(c)=0

כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לבין נקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכול "לדלג" על ציר x.)


הוכחה. נגדיר I_1=[a,b]. כעת, אם f(\frac{a+b}{2})=0 סיימנו.

אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח I_2=[a,\frac{a+b}{2}] או I_2=[\frac{a+b}{2},b] כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.

נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתים כל פעם).

אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים I_n=[a_n,b_n], היא מקיימת את הלמה של קנטור ויש נקודת גבול משותפת \lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]

כעת, כיוון שהפונקציה רציפה, לפי היינה

f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n).

אבל כיוון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר

f(c)=0

כפי שרצינו.


כעת נחזור למקרה הכללי. נביט בפונקציה g(x)=f(x)-\alpha. כיוון ש \alpha בין f(a),f(b) ברור כי g(a)g(b)< 0.

לפי המשפט לעיל, קיימת c בקטע כך ש g(c)=0 כלומר, f(c)=\alpha כפי שרצינו.