הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף א') |
||
שורה 13: | שורה 13: | ||
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן | נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן | ||
− | <math>А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta} f(t)dt</math>. | + | <math>А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>. |
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>. | נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>. | ||
גרסה מ־11:46, 28 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-
. נגדיר גם:
. אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו
רציפה,
גזירה ו-
.
ג) אם רציפה בכל
, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ:
.
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו-
"קטן" כך ש-
. לפי הגדרה:
ולכן
.
נתון ש-f חסומה, נגיד
.
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה
כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי
קיימת ושווה ל-
. נחזור לפונקציה
.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר
, מתקיים בהכרח:
טענה נוכיח כי
.
נעיר קודם כל כי מתקיים:
ולכן
.
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . אזי קיים
כך שאם
אז