הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←הוכחה) |
||
שורה 13: | שורה 13: | ||
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן | נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן | ||
− | <math> | + | <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>. |
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>. | נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>. | ||
שורה 52: | שורה 52: | ||
ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>. | ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>\blacksquare</math> | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ג' === | ||
+ | |||
+ | ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו. | ||
+ | |||
+ | לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>. | ||
<math>\blacksquare</math> | <math>\blacksquare</math> |
גרסה מ־12:09, 28 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-
. נגדיר גם:
. אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו
רציפה,
גזירה ו-
.
ג) אם רציפה בכל
, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ:
.
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו-
"קטן" כך ש-
. לפי הגדרה:
ולכן
.
נתון ש-f חסומה, נגיד
.
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה
כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי
קיימת ושווה ל-
. נחזור לפונקציה
.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר
, מתקיים בהכרח:
טענה נוכיח כי
.
נעיר קודם כל כי מתקיים:
ולכן
.
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . אזי קיים
כך שאם
אז
כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד לכן:
ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-
, מכאן נובע
.
סעיף ג'
ידוע כי רציפה על כל
, ולכן ע"פ סעיף ב',
פונקציה קדומה של
. נתון גם כי
פונקציה קדומה של
, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים
עבור c כלשהו.
לכן:
ולכן בסך הכל :.