הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 2: שורה 2:
  
  
−
הוכחת למת ההחלפה של שטייניץ.
+
הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות.
  
−
ניסוח: יהי <math>V</math> מרחב וקטורי. ותהינה <math>B</math> קבוצה בת"ל ו <math>C</math> קבוצה פורשת
+
שלב א':  
−
אזי לכל <math>b \in B</math> קיים <math>c\in C</math> כך ש <math>(B \backslash \{b\})\cup \{c\}</math> היא גם קבוצה בת"ל.
+
 
 +
כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים
 +
 
 +
<math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math>
 +
 
 +
<math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math>
 +
 
 +
<math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math>
 +
 
 +
 
 +
שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>.
 +
 
 +
אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.
 +
 
 +
שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.
 +
כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים)
 +
 
 +
מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>.
 +
 
 +
שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>.
 +
 
 +
אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.
 +
 
 +
הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>.
 +
 
 +
קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש
 +
 
 +
<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>.
 +
 
 +
<math>P</math>  הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.
 +
 
 +
אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים.
 +
 
 +
לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).
 +
 
 +
שלב ה: סיום
 +
 
 +
נותר רק לכפול משמאל את
 +
 
 +
<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>.
 +
 
 +
ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>.
 +
 
 +
ולקבל
 +
 
 +
<math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math>
 +
 
 +
היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.
 +
 
 +
קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

גרסה מ־17:44, 27 באוגוסט 2012


הוכחה לטענה ש A הפיכה \Leftrightarrow ניתן להציג את A כמכפלת מטריצות אלמנטריות.

שלב א':

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים

(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}

(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}

(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}


שלב ב': הוכחת \Rightarrow.

אם A היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.

שלב ג': מטריצה C בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה. כי לכל מטריצה B שהיא (נניח ש i היא שורת האפסים)

מתקיים לפי כפל שורה שורה R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I).

שלב ד': נתחיל להוכיח את \Leftarrow.

אם A הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא I.

הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של A ב P.

קיימות מטריצות אלמנטריות E_1,\ldots ,E_k כך ש

E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P.

P הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.

אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא I או שיש בה שורת אפסים.

לכן P=I. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).

שלב ה: סיום

נותר רק לכפול משמאל את

E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I.

ב (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} .

ולקבל

A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}

היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.

קיבלנו שA היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--איתמר שטיין 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:איתמר_שטיין&oldid=26362