מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==1== קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה ...")
 
שורה 27: שורה 27:


*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>
*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>
** לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס




*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>
*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>
** לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)




*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>
*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>
** כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.




*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
 
** לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>


==3==
==3==

גרסה מ־07:24, 5 בספטמבר 2012

1

קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

  • יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף
  • יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף
  • לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף
  • יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף
  • יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף
  • יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף


מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.


2

הגדרה:

קבוצת וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] נקראת תלוייה לינארית אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{R} }[/math] כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math]

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים שאינה תלוייה לינארית:


  • וקטורים המקיימים [math]\displaystyle{ v_1+v_2+...+v_n \neq 0 }[/math]
    • לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס


  • וקטורים המקיימים [math]\displaystyle{ 0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0 }[/math]
    • לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)


  • וקטורים המקיימים את התנאי- אם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n=0 }[/math]
    • כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{R} }[/math] כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math], אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.


  • וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math]
    • לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור [math]\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n=0 }[/math]

3

תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון [math]\displaystyle{ C \subseteq A\cup B }[/math].

הוכח/הפרך כל אחת מן הטענות הבאות:


  • [math]\displaystyle{ C\subseteq A }[/math] או [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]


  • אם [math]\displaystyle{ C\cap A = \phi }[/math] אזי [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]


  • [math]\displaystyle{ C\cap A = \phi }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]


  • [math]\displaystyle{ C\backslash A \subseteq B }[/math]


  • אם [math]\displaystyle{ C=A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math]


  • [math]\displaystyle{ \Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B }[/math]


  • [math]\displaystyle{ \Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B }[/math]