הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב ניצב"
(←3) |
(←2) |
||
שורה 66: | שורה 66: | ||
ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math> | ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | א. '''הפרכה''': | ||
+ | |||
+ | <math>U=\{0\},W=V</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ב. '''הוכחה''': | ||
+ | |||
+ | <math>\supseteq</math> | ||
+ | |||
+ | נניח <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>. | ||
+ | |||
+ | יהי <math>u+w\in U+W</math> לכן: | ||
+ | |||
+ | ::<math><v,u+w>=<v,u>+<v,w>=0</math> | ||
+ | |||
+ | כיוון ש <math>v\in U^\perp</math> וגם <math>v\in W^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>v\in (U+W)^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\subseteq</math> | ||
+ | |||
+ | נניח <math>v\in (U+W)^\perp</math>. | ||
+ | |||
+ | יהי <math>u\in U</math> לכן בפרט <math>u\in U+W</math> ולכן <math><v,u>=0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן <math>v\in U^\perp</math> ובאופן דומה <math>v\in W^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | סה"כ <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ג. '''הפרכה''': | ||
+ | |||
+ | <math>U=\{0\},W=V</math> | ||
===3=== | ===3=== |
גרסה מ־12:18, 25 בדצמבר 2012
הגדרה
יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים . אזי הקבוצה
הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל המרחב הניצב ל-S
תרגילים
משפט הפירוק הניצב
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי תת מרחב הוכיחו כי
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:
א.
ב.
ג. אם אזי
ד. לכל קבוצה מתקיים
פתרון:
א.
ב.
אם כך, נניח , כיוון מתקיים ביחד ולפי אי שליליות
לכן סה"כ
ג.
נניח לכן לכל מתקיים .
לכן בפרט, לכל מתקיים ולכן ולכן
ד.
כיוון ש , לפי סעיף קודם ברור כי .
כעת, אם אזי לכל צירוף לינארי מתקיים
כלומר ולכן גם
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:
א.
ב.
ג.
פתרון:
א. הפרכה:
ב. הוכחה:
נניח .
יהי לכן:
כיוון ש וגם
ולכן
נניח .
יהי לכן בפרט ולכן
לכן ובאופן דומה
סה"כ
ג. הפרכה:
3
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים כך ש . הוכיחו/הפריכו
הפרכה: