הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏סעיף א)
(←‏שאלה 1)
שורה 1: שורה 1:
 
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
 
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
  
−
 
−
==שאלה 1==
 
−
 
−
===סעיף ב===
 
−
 
−
ידוע כי
 
−
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math>
 
−
 
−
נניח ש
 
−
 
−
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c>0</math>
 
−
 
−
 
−
נסמן <math>b_n=a_n\cdot n</math>
 
−
 
−
כלומר
 
−
 
−
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>0</math>
 
−
 
−
 
−
 
−
טענת עזר: קיים <math>N</math> כך שאם <math>n>N</math> אז <math>b_n>\frac{c}{2}</math>
 
−
 
−
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב <math>b_n</math> שיותר קטנים מ <math>\frac{c}{2}</math>)
 
−
 
−
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ <math>b_n</math> שעבורם <math>b_n\leq \frac{c}{2}</math>
 
−
 
−
אז קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> כך ש <math>b_{n_k}\leq \frac{c}{2}</math> לכל <math>k\in \mathbb{N}</math>
 
−
 
−
נשים לב ש <math>b_n</math> היא חסומה מלרע ולכן <math>b_{n_k}</math> חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
 
−
 
−
לכן ל <math>b_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת <math>b_{n_{k_l}}</math> כך ש
 
−
 
−
<math>\lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2}</math>
 
−
 
−
וזאת בסתירה לכך ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>\frac{c}{2}</math>
 
−
 
−
זה מוכיח את טענת העזר.
 
−
 
−
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ <math>N\in \mathbb{N}</math> כלשהוא מתקיים
 
−
 
−
<math>b_n>\frac{c}{2}</math>
 
−
 
−
אבל בגלל ש <math>b_n=a_n\cdot n</math> זה אומר שהחל מאותו <math>N\in \mathbb{N}</math> מתקיים
 
−
 
−
<math>a_n > \frac{c}{2} \frac{1}{n}</math>
 
−
 
−
בגלל שהטור
 
−
<math>\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
 
−
מתבדר
 
−
 
−
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty  a_n</math> מתבדר.
 
  
 
==שאלה 2==
 
==שאלה 2==

גרסה מ־11:56, 28 בינואר 2013


שאלה 2

סעיף א

טענת עזר: אם A,B קבוצות חסומות מלעיל אז


\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)


הוכחה: נוכיח שהמספר \sup(A)+\sup(B) מקיים את התכונות של \sup(A+B)

  • תכונה א': חסם מלעיל של A+B. הוכחה:


אם x\in A+B אז ניתן לכתוב x=a+b כאשר a\in A, b\in B.

היות ו a\leq \sup(A) ו b\leq \sup(B) מתקיים

x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B)


  • תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:

יהי y איזשהוא חסם מלעיל של A+B

נניח בשלילה ש y<\sup(A)+\sup(B)

אז נקבל ש y-\sup(B)<\sup(A)

ולכן קיים a\in A כך ש y-\sup(B)<a

מכאן נקבל y-a<\sup(B)

ולכן קיים b\in B כך ש y-a<b

ולכן y<a+b\in A+B

בסתירה לכך ש y חסם מלעיל של A+B

לכן בהכרח מתקיים \sup(A)+\sup(B)\leq y

לסיכום: הוכחנו שהמספר \sup(A)+\sup(B) מקיים את שתי התכונות של חסם עליון

ולכן \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B). מש"ל טענת עזר.

עכשיו קל להוכיח את הדרוש:

\sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C)

מש"ל.

סעיף ב

הפרכה פשוטה, ניקח a_n=-\frac{1}{n} ו b_n=\frac{1}{n}

מתקיים שלכל n\in \mathbb{N} a_n<b_n (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל n\in \mathbb{N}).

אבל

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0


שתי הערות: א) כמעט לכל n פירושו: לכל n פרט למספר סופי של מקרים.

אן לחילופין: קיים N\in \mathbb{N} כך שהטענה מתקיימת לכל n>N.

ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה

אם a_n\leq b_n ו

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b

אז

a\leq b.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:איתמר_שטיין&oldid=31853