תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 107: | שורה 107: | ||
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>. | * '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>. | ||
* תהי <math>\vec p=\vec p(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec p</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math> אזי גם <math>\vec p_0:=\vec p(\vec q_0)</math> מקיימת <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial p_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot p_i}=0</math>. | * תהי <math>\vec p=\vec p(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec p</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math> אזי גם <math>\vec p_0:=\vec p(\vec q_0)</math> מקיימת <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial p_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot p_i}=0</math>. | ||
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left({E_k}_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגרנז׳יאן נקרא ''הלגרנז׳יאן הפיזיקלי'' של המערכת. | |||
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגרנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>. | |||
* '''תנע מוכלל:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(E_k-U)}{\partial\dot q_i}</math> כאשר <math>\vec q</math> וקטור קואורדינטות. | |||
* '''כוח מוכלל:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(E_k-U)}{\partial q_i}</math> כאשר <math>\vec q</math> וקטור קואורדינטות. | |||
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>. | |||
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>. | |||
=== מכניקה המילטונית === | |||
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדר כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>. | |||
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>. | |||
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית. | |||
* '''המילטוניאן:''' התמרת לז׳נדר של הלגרנז׳יאן הפיזיקלי: <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(p,q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע המוכלל ו־<math>\mathcal L=E_k-U</math>. | |||
* <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. | |||
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית. | |||
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>. | |||
* <math>\{A,\B}=-\{B,A\}</math>. | |||
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\partial A/\partial t</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן (בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>). | |||
== דוגמאות חשובות == | == דוגמאות חשובות == | ||
שורה 112: | שורה 129: | ||
** '''קפיץ:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_\text{loose}</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta x</math> השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי. | ** '''קפיץ:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_\text{loose}</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta x</math> השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי. | ||
*** אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, <math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.<br />נגדיר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>. | *** אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, <math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.<br />נגדיר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>. | ||
* ''' | * '''מטוטלת מתמטית:''' בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.<br />אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגרנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>. | ||
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח. | * '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח. | ||
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>.<br />אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>. | * '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>.<br />אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>. | ||
שורה 118: | שורה 135: | ||
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. | * '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. | ||
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים | * '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע. | ||
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים <math>1,2</math> נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שעל הגופים לא פועלים כוחות חיצוניים ושגודל מהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>v_i</math> ואחריה <math>u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2</math> וביחד עם שימור האנרגיה מקבלים <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>. משתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות. | * '''התנגשות אלסטית:''' הגופים <math>1,2</math> נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שעל הגופים לא פועלים כוחות חיצוניים ושגודל מהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>v_i</math> ואחריה <math>u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2</math> וביחד עם שימור האנרגיה מקבלים <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>. משתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות. |
גרסה מ־20:01, 5 במאי 2013
הערות:
- לכל שתי פונקציות פיזיקליות [math]\displaystyle{ f,g }[/math] של הזמן נסמן [math]\displaystyle{ f_g:=f\circ g^{-1} }[/math]. למשל, [math]\displaystyle{ \vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \vec v_\vec r }[/math] היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
- לפעמים נסמן [math]\displaystyle{ f }[/math] במקום [math]\displaystyle{ f(t) }[/math].
- לכל וקטור [math]\displaystyle{ \vec u }[/math] נסמן כ־[math]\displaystyle{ u=|\vec u| }[/math] את גודלו וכ־[math]\displaystyle{ \hat u=\sgn(\vec u) }[/math] את כיוונו.
- נזכיר שלכל פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\} }[/math].
הקדמה
יחידות
- זמן – שנייה: [math]\displaystyle{ \mathrm s }[/math]
- מרחק – מטר: [math]\displaystyle{ \mathrm m }[/math]
- מסה – קילוגרם: [math]\displaystyle{ \mathrm{kg} }[/math]
- כוח – ניוטון: [math]\displaystyle{ \mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}} }[/math]
- אנרגיה – ג׳אול: [math]\displaystyle{ \mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m} }[/math]
- תדירות – הרץ: [math]\displaystyle{ \mathrm{Hz=s^{-1}} }[/math]
קבועים
- גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א: [math]\displaystyle{ g\approx9.8\mathrm\frac ms }[/math]
- קבוע הגרביטציה האוניברסלי: [math]\displaystyle{ G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2} }[/math]
תזכורות ונוסחאות
- מכפלה וקטורית: [math]\displaystyle{ \vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix} }[/math]
- גרדיאנט: [math]\displaystyle{ \nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z }[/math]
- דיברגנץ: [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\vec F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz} }[/math]
- רוטור/קרל: [math]\displaystyle{ \nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z }[/math]
- לפלסיאן: [math]\displaystyle{ \nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} }[/math]
קואורדינטות
עבור [math]\displaystyle{ x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math] קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:
מ־↓ ל־← | קרטזיות | גליליות | כדוריות |
---|---|---|---|
קרטזיות | [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array} }[/math] | [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array} }[/math] | |
גליליות | [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array} }[/math] | [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array} }[/math] | |
כדוריות | [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array} }[/math] | [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array} }[/math] |
כאשר [math]\displaystyle{ \mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x\gt 0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x\lt 0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases} }[/math].
כמו כן, [math]\displaystyle{ \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta }[/math].
קינמטיקה
- [math]\displaystyle{ \vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v }[/math].
- התדירות הזוויתית: [math]\displaystyle{ \omega:=\dot\theta }[/math].
- התנע: [math]\displaystyle{ \vec p:=m\vec v }[/math].
- תנועה במהירות קבועה: [math]\displaystyle{ \vec v(t)\equiv\text{const.} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec r=\vec v(0)t+\vec r(0) }[/math].
- תנועה בתאוצה קבועה: [math]\displaystyle{ \vec a(t)\equiv\text{const.} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec v=\vec a(0)t+\vec v(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0) }[/math].
- תנועה בגודל מהירות קבוע: [math]\displaystyle{ |\vec v|\equiv\text{const.} }[/math]. זה קורה אם״ם [math]\displaystyle{ \vec a\perp\vec v }[/math].
- תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור [math]\displaystyle{ xy }[/math] שרדיוסו [math]\displaystyle{ R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix} }[/math], [math]\displaystyle{ \vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \vec a=\vec a_R+\vec a_T }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r }[/math] נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־[math]\displaystyle{ \vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v }[/math] נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן [math]\displaystyle{ \vec\omega:=\omega\hat\mathbf z }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \vec v=\vec\omega\times\vec r }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r }[/math].
- תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־[math]\displaystyle{ \omega(t)\equiv\text{const.} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \theta=\omega t+\theta(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R }[/math]. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
- התדירות מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ f:=\frac\omega{2\pi} }[/math].
- זמן המחזור מוגדר כ־[math]\displaystyle{ T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega }[/math].
מכניקה ניוטונית
חוקי התנועה של ניוטון
- גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: [math]\displaystyle{ \vec v\equiv\text{const.} }[/math].
- הכוח שפועל על גוף נתון הוא [math]\displaystyle{ \vec F=\dot\vec p }[/math].
- אם גוף 1 מפעיל כוח [math]\displaystyle{ \vec F_{21} }[/math] על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח [math]\displaystyle{ \vec F_{12}=-\vec F_{21} }[/math] על גוף 1.
אנרגיה
- האנרגיה הקינטית של גוף היא [math]\displaystyle{ E_k:=\frac{m v^2}2 }[/math].
- העבודה שמבצע כוח [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] בין הזמנים [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] עד [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] היא [math]\displaystyle{ W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt }[/math].
- [math]\displaystyle{ W=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1) }[/math].
- כוח משמר: כוח [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל [math]\displaystyle{ t_1,t_2 }[/math]:
- האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r }[/math] אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום [math]\displaystyle{ \vec r(t_1),\vec r(t_2) }[/math].
- לכל מסלול סגור מתקיים [math]\displaystyle{ \oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0 }[/math].
- קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ U }[/math] בתחום כך ש־[math]\displaystyle{ \int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2) }[/math] לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
- קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ U_\vec r }[/math] בתחום כך ש־[math]\displaystyle{ \vec F_\vec r(\vec r)=-\nabla U_\vec r(\vec r) }[/math].
- מתקיים [math]\displaystyle{ \forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0 }[/math].
- אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל של גוף עליו פועל כוח משמר [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] היא [math]\displaystyle{ U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec r_0 }[/math] היא נקודת הייחוס.
- אם על גוף פועל כוח משמר אז [math]\displaystyle{ U(t_1)-U(t_2)=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1) }[/math].
- אנרגיה כללית של גוף עליו פועל כוח משמר היא [math]\displaystyle{ E:=E_k+U }[/math].
- חוק שימור האנרגיה: אם על גוף פועל כוח משמר אז [math]\displaystyle{ E\equiv\text{const.} }[/math], כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
- פוטנציאל אפקטיבי: האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math] היא [math]\displaystyle{ E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U }[/math]. גודל התנע הזוויתי הוא [math]\displaystyle{ L=m\rho^2\omega }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U }[/math] הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.
מערכות גופים
תהא מערכת ובה הגופים [math]\displaystyle{ 1,2,\dots,n }[/math]. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף [math]\displaystyle{ i }[/math] כ־[math]\displaystyle{ \vec F_{ie} }[/math].
- המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ M:=\sum_{i=1}^n m_i }[/math].
- מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M }[/math].
- התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i }[/math]. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ M\dot\vec R }[/math].
- לפי החוק השלישי של ניוטון [math]\displaystyle{ \dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie} }[/math].
- חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא [math]\displaystyle{ \vec 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \dot\vec p=\vec 0 }[/math], כלומר התנע הכולל קבוע.
- אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
- חוק שימור האנרגיה: אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\Big(E_{ki}+U_i\Big)\equiv\text{const.} }[/math].
תנע זוויתי
- התנע הזוויתי של גוף מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec L:=\vec r\times\vec p }[/math].
- הטורק/מומנט הפיתול של גוף מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L }[/math].
- חוק שימור התנע הזוויתי: אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־[math]\displaystyle{ \vec r }[/math] אז [math]\displaystyle{ \vec L\equiv\text{const.} }[/math].
מכניקה אנליטית
פונקציונלים
- פונקציונל: פונקציה [math]\displaystyle{ S }[/math] ממרחב פונקציות מסוים [math]\displaystyle{ \mathcal B }[/math] לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה [math]\displaystyle{ S(q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \mathcal L }[/math] היא הלגראנז׳יאן של הבעיה.
- מינימיזציה: נרצה למצוא את הפונקציה [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] שעבורה [math]\displaystyle{ \vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S(\vec q) }[/math] מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] דיפרנציאבילית ו־[math]\displaystyle{ \mathcal L }[/math] גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיימת משוואת אוילר–לגראנז׳: [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0 }[/math].
- תהי [math]\displaystyle{ \vec p=\vec p(\vec q) }[/math] התמרת קואורדינטות מ־[math]\displaystyle{ \vec q }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \vec p }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \vec q_0 }[/math] מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0 }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ \vec p_0:=\vec p(\vec q_0) }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial p_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot p_i}=0 }[/math].
- פעולה: הפונקציונל [math]\displaystyle{ S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left({E_k}_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt }[/math]. הלגרנז׳יאן נקרא הלגרנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת.
- עקרון המילטון/הפעולה המינימלית: הלגרנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל [math]\displaystyle{ \vec r }[/math].
- תנע מוכלל: הווקטור שרכיביו [math]\displaystyle{ p_i:=\frac{\partial(E_k-U)}{\partial\dot q_i} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] וקטור קואורדינטות.
- כוח מוכלל: הווקטור שרכיביו [math]\displaystyle{ F_i:=\frac{\partial(E_k-U)}{\partial q_i} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] וקטור קואורדינטות.
- ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־[math]\displaystyle{ F_i=\dot p_i }[/math].
- קואורדינטה ציקלית: קואורדינטה [math]\displaystyle{ q_i }[/math] שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת [math]\displaystyle{ F_i\equiv 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ p_i\equiv\text{const.} }[/math].
מכניקה המילטונית
- התמרת לז׳נדר: תהי פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ s }[/math] מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית [math]\displaystyle{ x(s) }[/math]. התמרת לז׳נדר של [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדר כ־[math]\displaystyle{ g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s)) }[/math].
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial s}=x }[/math].
- התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
- המילטוניאן: התמרת לז׳נדר של הלגרנז׳יאן הפיזיקלי: [math]\displaystyle{ \mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(p,q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec p }[/math] התנע המוכלל ו־[math]\displaystyle{ \mathcal L=E_k-U }[/math].
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i }[/math].
- בקואורדינטות קרטזיות [math]\displaystyle{ \vec q=(x,y,z) }[/math] התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
- סוגרי פואסון: בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים [math]\displaystyle{ A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t) }[/math] מוגדרים כ־[math]\displaystyle{ \{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right) }[/math].
- [math]\displaystyle{ \{A,\B}=-\{B,A\} }[/math].
- מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \partial A/\partial t }[/math] הוא השינוי ב־[math]\displaystyle{ A }[/math] לפי תלות מפורשת בזמן (בניגוד לתלות ע״י [math]\displaystyle{ \vec p(t),\vec q(t) }[/math]).
דוגמאות חשובות
- מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
- קפיץ: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה [math]\displaystyle{ \vec r_\text{loose} }[/math] במצב רפוי ובנקודה [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי [math]\displaystyle{ \vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose}) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math] הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־[math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
- אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] וש־[math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math] היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] על הגוף תהא [math]\displaystyle{ F_x=-kx=m\ddot x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x(t)=A\sin(\omega t+\phi) }[/math] כש־[math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף, [math]\displaystyle{ \omega=\sqrt\frac km }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math] היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
נגדיר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא [math]\displaystyle{ U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2 }[/math].
- אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] וש־[math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math] היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] על הגוף תהא [math]\displaystyle{ F_x=-kx=m\ddot x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x(t)=A\sin(\omega t+\phi) }[/math] כש־[math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף, [math]\displaystyle{ \omega=\sqrt\frac km }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math] היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
- קפיץ: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה [math]\displaystyle{ \vec r_\text{loose} }[/math] במצב רפוי ובנקודה [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי [math]\displaystyle{ \vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose}) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math] הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־[math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
- מטוטלת מתמטית: בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח מתיחות [math]\displaystyle{ \vec T=-T\hat\mathbf n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \hat\mathbf n }[/math] וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־[math]\displaystyle{ T }[/math] גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא [math]\displaystyle{ \frac{mR^2\dot\theta^2}2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ R }[/math] אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא [math]\displaystyle{ -mgR\cos(\theta) }[/math]. לכן הלגרנז׳יאן הפיזיקלי הוא [math]\displaystyle{ \frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta) }[/math] ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת [math]\displaystyle{ mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0 }[/math]. - כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח נורמלי [math]\displaystyle{ \vec N }[/math] על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
- החוק הרביעי של ניוטון: בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 כוח כבידה משמר [math]\displaystyle{ \vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3} }[/math].
אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא [math]\displaystyle{ U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|} }[/math].- בקרבתו מפעיל כדה״א כוח הכבידה [math]\displaystyle{ -mg\hat\mathbf z }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף ו־[math]\displaystyle{ \hat\mathbf z }[/math] וקטור יחידה בכיוון מעלה.
אם נגדיר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז [math]\displaystyle{ U=-\int_0^z-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz }[/math].
- בקרבתו מפעיל כדה״א כוח הכבידה [math]\displaystyle{ -mg\hat\mathbf z }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף ו־[math]\displaystyle{ \hat\mathbf z }[/math] וקטור יחידה בכיוון מעלה.
- כוח מרכזי: כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב.
- התנגשות פלסטית: הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
- התנגשות אלסטית: הגופים [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שעל הגופים לא פועלים כוחות חיצוניים ושגודל מהירותם לפני ההתנגשות הוא [math]\displaystyle{ v_i }[/math] ואחריה [math]\displaystyle{ u_i }[/math]. אזי משימור התנע מקבלים [math]\displaystyle{ m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2 }[/math] וביחד עם שימור האנרגיה מקבלים [math]\displaystyle{ v_1+u_1=v_2+u_2 }[/math]. משתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.