מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 5: שורה 5:
אזי מתקיים:
אזי מתקיים:


<math> \int_a^{\infty} g(x)dx </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס
<math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס


<math> \int_a^{\infty} f(x)dx </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)dx \Leftarrow</math> מתבדר
<math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתבדר


<font size=4 color=#a7adcd>
<font size=4 color=#a7adcd>
שורה 13: שורה 13:
</font>
</font>


קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} dx </math> מתכנס או מתבדר
קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x </math> מתכנס או מתבדר


'''פתרון.'''
'''פתרון.'''
שורה 20: שורה 20:
<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>
<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>


<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.


===מבחן ההשוואה הגבולי===
===מבחן ההשוואה הגבולי===
שורה 32: שורה 32:
'''אזי:'''
'''אזי:'''


אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").


אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס.
אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.


אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס.
אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.

גרסה מ־12:00, 11 במאי 2013

אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון

מבחן ההשוואה הראשון

יהי [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math], ותהי נק' [math]\displaystyle{ c\geq a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 }[/math].

אזי מתקיים:

[math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתכנס

[math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x }[/math] מתבדר [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתבדר

דוגמא.

קבע האם [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x }[/math] מתכנס או מתבדר

פתרון. נשים לב כי [math]\displaystyle{ \arctan(x) }[/math] היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

[math]\displaystyle{ \forall_{x\gt 1}: \arctan(x)\gt \arctan(1)=\frac{\pi}{4}\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall_{x\gt 1}: \frac{\arctan(x)}{x}\gt \frac{\pi}{4x}\gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x }[/math] מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

יהי [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math], ותהיינה שתי פונקציות [math]\displaystyle{ f(x), g(x) }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ \forall_{x\gt =a}:f(x),g(x)\gt 0 }[/math]

יהי הגבול: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L }[/math]

אזי:

אם [math]\displaystyle{ L\gt 0 , L\in\mathbb{R} }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתכנס.

אם [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתכנס.