מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים: הבדלים בין גרסאות בדף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 5: | שורה 5: | ||
אזי מתקיים: | אזי מתקיים: | ||
<math> \int_a^{\infty} g(x) | <math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס | ||
<math> \int_a^{\infty} f(x) | <math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתבדר | ||
<font size=4 color=#a7adcd> | <font size=4 color=#a7adcd> | ||
שורה 13: | שורה 13: | ||
</font> | </font> | ||
קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} | קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x </math> מתכנס או מתבדר | ||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
שורה 20: | שורה 20: | ||
<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math> | <math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math> | ||
<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x} | <math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר. | ||
===מבחן ההשוואה הגבולי=== | ===מבחן ההשוואה הגבולי=== | ||
שורה 32: | שורה 32: | ||
'''אזי:''' | '''אזי:''' | ||
אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x) | אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים"). | ||
אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x) | אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס. | ||
אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x) | אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס. |
גרסה מ־12:00, 11 במאי 2013
אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון
מבחן ההשוואה הראשון
יהי [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math], ותהי נק' [math]\displaystyle{ c\geq a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 }[/math].
אזי מתקיים:
[math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתכנס
[math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x }[/math] מתבדר [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתבדר
דוגמא.
קבע האם [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x }[/math] מתכנס או מתבדר
פתרון. נשים לב כי [math]\displaystyle{ \arctan(x) }[/math] היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
[math]\displaystyle{ \forall_{x\gt 1}: \arctan(x)\gt \arctan(1)=\frac{\pi}{4}\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall_{x\gt 1}: \frac{\arctan(x)}{x}\gt \frac{\pi}{4x}\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x }[/math] מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
מבחן ההשוואה הגבולי
יהי [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math], ותהיינה שתי פונקציות [math]\displaystyle{ f(x), g(x) }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ \forall_{x\gt =a}:f(x),g(x)\gt 0 }[/math]
יהי הגבול: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L }[/math]
אזי:
אם [math]\displaystyle{ L\gt 0 , L\in\mathbb{R} }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתכנס.
אם [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתכנס.