תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

הערות:

• לכל שתי פונקציות פיזיקליות [math]\displaystyle{ f,g }[/math] של הזמן נסמן [math]\displaystyle{ f_g:=f\circ g^{-1} }[/math]. למשל, [math]\displaystyle{ \vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \vec v_\vec r }[/math] היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
• לפעמים נסמן [math]\displaystyle{ f }[/math] במקום [math]\displaystyle{ f(t) }[/math].
• לכל וקטור [math]\displaystyle{ \vec u }[/math] נסמן כ־[math]\displaystyle{ u=|\vec u| }[/math] את גודלו וכ־[math]\displaystyle{ \hat u=\sgn(\vec u) }[/math] את כיוונו.
• נזכיר שלכל פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\} }[/math].

הקדמה

יחידות

• זמן – שנייה: [math]\displaystyle{ \mathrm s }[/math]
• מרחק – מטר: [math]\displaystyle{ \mathrm m }[/math]
• מסה – קילוגרם: [math]\displaystyle{ \mathrm{kg} }[/math]
• כוח – ניוטון: [math]\displaystyle{ \mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}} }[/math]
• אנרגיה – ג׳אול: [math]\displaystyle{ \mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m} }[/math]
• תדירות – הרץ: [math]\displaystyle{ \mathrm{Hz=s^{-1}} }[/math]

קבועים

• גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א: [math]\displaystyle{ g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2} }[/math]
• קבוע הגרביטציה האוניברסלי: [math]\displaystyle{ G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2} }[/math]
• קבוע פלאנק: [math]\displaystyle{ \hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s} }[/math]
• מהירות האור בריק: [math]\displaystyle{ c=299792458\mathrm\frac ms }[/math]

תזכורות ונוסחאות

• מכפלה וקטורית: [math]\displaystyle{ \vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix} }[/math]
• דל: [math]\displaystyle{ \nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix} }[/math]. הגרדיאנט הוא [math]\displaystyle{ \nabla f }[/math], הדיברגנץ הוא [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\vec F }[/math], הרוטור/קרל – [math]\displaystyle{ \nabla\times\vec F }[/math], והלפלסיאן – [math]\displaystyle{ \Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} }[/math].

קואורדינטות

• עבור [math]\displaystyle{ x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math] קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:
  

  מ־← ל־↓	קרטזיות	גליליות	כדוריות
  קרטזיות		[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array} }[/math]
  גליליות	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array} }[/math]		[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array} }[/math]
  כדוריות	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array} }[/math]

  כאשר [math]\displaystyle{ \mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x\gt 0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x\lt 0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta }[/math].

קינמטיקה

• [math]\displaystyle{ \vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v }[/math].
• התדירות הזוויתית: [math]\displaystyle{ \omega:=\dot\theta }[/math].
• התנע: [math]\displaystyle{ \vec p:=m\vec v }[/math].
• תנועה במהירות קבועה: [math]\displaystyle{ \vec v(t)\equiv\text{const.} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec r=\vec v(0)t+\vec r(0) }[/math].
• תנועה בתאוצה קבועה: [math]\displaystyle{ \vec a(t)\equiv\text{const.} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec v=\vec a(0)t+\vec v(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0) }[/math].
• תנועה בגודל מהירות קבוע: [math]\displaystyle{ |\vec v|\equiv\text{const.} }[/math]. זה קורה אם״ם [math]\displaystyle{ \vec a\perp\vec v }[/math].
• תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור [math]\displaystyle{ xy }[/math] שרדיוסו [math]\displaystyle{ R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix} }[/math], [math]\displaystyle{ \vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \vec a=\vec a_R+\vec a_T }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r }[/math] נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־[math]\displaystyle{ \vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v }[/math] נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן [math]\displaystyle{ \vec\omega:=\omega\hat\mathbf z }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \vec v=\vec\omega\times\vec r }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r }[/math].

• תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־[math]\displaystyle{ \omega(t)\equiv\text{const.} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \theta=\omega t+\theta(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R }[/math]. התאוצה נקראת צנטריפטלית.

• התדירות מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ f:=\frac\omega{2\pi} }[/math].
• זמן המחזור מוגדר כ־[math]\displaystyle{ T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega }[/math].

מכניקה ניוטונית

חוקי התנועה של ניוטון

1. גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: [math]\displaystyle{ \vec v\equiv\text{const.} }[/math].
2. הכוח שפועל על גוף נתון הוא [math]\displaystyle{ \vec F=\dot\vec p }[/math].
3. אם גוף 1 מפעיל כוח [math]\displaystyle{ \vec F_{21} }[/math] על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח [math]\displaystyle{ \vec F_{12}=-\vec F_{21} }[/math] על גוף 1.

אנרגיה

• האנרגיה הקינטית של גוף היא [math]\displaystyle{ T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m} }[/math].
• העבודה שמבצע כוח [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] בין הזמנים [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] עד [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] היא [math]\displaystyle{ W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt }[/math].
• [math]\displaystyle{ W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1) }[/math].
• כוח משמר: כוח [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל [math]\displaystyle{ t_1,t_2 }[/math]:
  1. האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r }[/math] אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום [math]\displaystyle{ \vec r(t_1),\vec r(t_2) }[/math].
  2. לכל מסלול סגור מתקיים [math]\displaystyle{ \oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0 }[/math].
  3. קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ U }[/math] בתחום כך ש־[math]\displaystyle{ \int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2) }[/math] לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
  4. קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ U_\vec r }[/math] בתחום כך ש־[math]\displaystyle{ \vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r }[/math].
  5. מתקיים [math]\displaystyle{ \forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0 }[/math].
• אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל של גוף עליו פועל כוח משמר [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] היא [math]\displaystyle{ U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec r_0 }[/math] היא נקודת הייחוס.
• אם על גוף פועל כוח משמר אז [math]\displaystyle{ U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1) }[/math].
• אנרגיה כללית של גוף עליו פועל כוח משמר היא [math]\displaystyle{ E:=T+U }[/math].
• חוק שימור האנרגיה: אם על גוף פועל כוח משמר אז [math]\displaystyle{ E\equiv\text{const.} }[/math], כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
• פוטנציאל אפקטיבי: האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math] היא [math]\displaystyle{ E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U }[/math]. גודל התנע הזוויתי הוא [math]\displaystyle{ L=m\rho^2\omega }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U }[/math] הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

מערכות גופים

תהא מערכת ובה הגופים [math]\displaystyle{ 1,2,\dots,n }[/math]. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף [math]\displaystyle{ i }[/math] כ־[math]\displaystyle{ \vec F_{ie} }[/math].

• המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ M:=\sum_{i=1}^n m_i }[/math].
• מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i }[/math].
• התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i }[/math]. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ M\dot\vec R }[/math].
• לפי החוק השלישי של ניוטון [math]\displaystyle{ \dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie} }[/math].
• חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא [math]\displaystyle{ \vec 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \dot\vec p=\vec 0 }[/math], כלומר התנע הכולל קבוע.

• אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).

• חוק שימור האנרגיה: אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.} }[/math].

תנע זוויתי

• התנע הזוויתי של גוף מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec L:=\vec r\times\vec p }[/math].
• הטורק/מומנט הפיתול של גוף מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L }[/math].
• חוק שימור התנע הזוויתי: אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־[math]\displaystyle{ \vec r }[/math] אז [math]\displaystyle{ \vec L\equiv\text{const.} }[/math].

מערכות ייחוס

בפרק זה נתונות שתי מערכות, [math]\displaystyle{ S,S' }[/math], כך שאם [math]\displaystyle{ A }[/math] גודל דינמי ב־[math]\displaystyle{ S }[/math] אז הוא יסומן כ־[math]\displaystyle{ A' }[/math] ב־[math]\displaystyle{ S' }[/math].

• מערכת אינרציאלית: מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
• כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
• טרנספורמציות גליליי: טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם [math]\displaystyle{ S }[/math] אינרציאלית ו־[math]\displaystyle{ S' }[/math] מתקבלת מ־[math]\displaystyle{ S }[/math] ע״י טרנספורמציית גליליי אז [math]\displaystyle{ S' }[/math] אינרציאלית.
  • מקרים פרטיים: [math]\displaystyle{ \vec r=\vec r\,'+\vec r_0 }[/math]; [math]\displaystyle{ \dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0 }[/math]; [math]\displaystyle{ \vec r=\mathbf R\vec r\,' }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \mathbf R }[/math] היא מטריצת סיבוב קבועה; [math]\displaystyle{ \vec r=-\vec r\,' }[/math]; [math]\displaystyle{ t=t'+t_0 }[/math]; [math]\displaystyle{ t=-t' }[/math]. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
• מערכת מואצת: [math]\displaystyle{ \ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ S }[/math] אינרציאלית ו־[math]\displaystyle{ \vec a_0\ne\vec0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ S' }[/math] אינה אינרציאלית, כי [math]\displaystyle{ \vec F\,'=\vec F-m\vec a_0 }[/math]. אם נדמיין שפועל כוח מדומה [math]\displaystyle{ -m\vec a_0 }[/math] על הגוף ב־[math]\displaystyle{ S' }[/math] אז נקבל מערכת [math]\displaystyle{ S'' }[/math] שאינרציאלית אם [math]\displaystyle{ S }[/math] אינרציאלית.
• מערכת מסתובבת: [math]\displaystyle{ \vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,' }[/math] כש־[math]\displaystyle{ \mathbf R(\omega t) }[/math] היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית [math]\displaystyle{ \omega t }[/math]. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־[math]\displaystyle{ z }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec\omega:=\omega\hat\mathbf z }[/math] אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: הכוח הצנטריפוגלי [math]\displaystyle{ -m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,') }[/math] וכוח קוריוליס [math]\displaystyle{ -2m\vec\omega\times\vec v\,' }[/math].

מכניקה אנליטית

• פונקציונל: פונקציה [math]\displaystyle{ S }[/math] ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה [math]\displaystyle{ S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \mathcal L }[/math] היא הלגראנז׳יאן של הבעיה.
• מינימיזציה: נרצה למצוא את הפונקציה [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] שעבורה [math]\displaystyle{ \vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S(\vec q) }[/math] מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] דיפרנציאבילית ו־[math]\displaystyle{ \mathcal L }[/math] גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיימת משוואת אוילר–לגראנז׳: [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0 }[/math].
• תהי [math]\displaystyle{ \vec q\,'=\vec q\,'(\vec q) }[/math] התמרת קואורדינטות מ־[math]\displaystyle{ \vec q }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \vec q\,' }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \vec q_0 }[/math] מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־[math]\displaystyle{ \mathcal L }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ \vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0) }[/math] מקיימת אותה ל־[math]\displaystyle{ \mathcal L }[/math].
• פעולה: הפונקציונל [math]\displaystyle{ S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt }[/math]. הלגראנז׳יאן נקרא הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת, והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
• עקרון המילטון/הפעולה המינימלית: הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל [math]\displaystyle{ \vec r }[/math].
• תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות [math]\displaystyle{ \vec q }[/math]: הווקטור שרכיביו [math]\displaystyle{ p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i} }[/math].
• כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות [math]\displaystyle{ \vec q }[/math]: הווקטור שרכיביו [math]\displaystyle{ F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i} }[/math].
• ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־[math]\displaystyle{ F_i=\dot p_i }[/math].
• קואורדינטה ציקלית: קואורדינטה [math]\displaystyle{ q_i }[/math] שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת [math]\displaystyle{ F_i\equiv 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ p_i\equiv\text{const.} }[/math].
• התמרת לז׳נדר: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ s }[/math] מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית [math]\displaystyle{ x(s) }[/math]. התמרת לז׳נדר של [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s)) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial s}=x }[/math].
• התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
• המילטוניאן הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של [math]\displaystyle{ \dot\vec q }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec p }[/math] התנע הצמוד ל־[math]\displaystyle{ \vec q }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \mathcal L=T-U }[/math]. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
• משוואות (התנועה של) המילטון: [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i }[/math]. לכן במרחב [math]\displaystyle{ n }[/math]־מימדי נקבל [math]\displaystyle{ 2n }[/math] מד״ח מסדר ראשון במקום [math]\displaystyle{ n }[/math] מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז׳.
• בקואורדינטות קרטזיות [math]\displaystyle{ \vec q=(x,y,z) }[/math] התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
• סוגרי פואסון: בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים [math]\displaystyle{ A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t) }[/math] כאלה מוגדרים כ־[math]\displaystyle{ \{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \{A,B\}=-\{B,A\} }[/math].
• מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \frac{\partial A}{\partial t} }[/math] הוא השינוי ב־[math]\displaystyle{ A }[/math] לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י [math]\displaystyle{ \vec p(t),\vec q(t) }[/math].
• מרחב פאזה: בהנתן מערכת עם [math]\displaystyle{ m }[/math] גופים במרחב [math]\displaystyle{ n }[/math]־מימדי, משוואות המילטון נותנות [math]\displaystyle{ 2nm }[/math] משוואות ב־[math]\displaystyle{ 2nm }[/math] נעלמים [math]\displaystyle{ q_{ij},p_{ij} }[/math] (כש־[math]\displaystyle{ \vec q_j }[/math] וקטורי קואורדינטות ו־[math]\displaystyle{ \vec p_j }[/math] תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב [math]\displaystyle{ 2nm }[/math]־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות [math]\displaystyle{ q_{ij},p_{ij} }[/math] כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
• נניח שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר [math]\displaystyle{ t'=-t }[/math] ולכל גודל פיזיקלי [math]\displaystyle{ f=f(t) }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ f'=f(t') }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p }[/math]. אם הקואורדינטות קרטזיות אז [math]\displaystyle{ \mathcal H'=\mathcal H }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i' }[/math].
• משפט ליוביל: נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות [math]\displaystyle{ \rho(\vec q,\vec p) }[/math] המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח [math]\displaystyle{ \mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t) }[/math] אינווריאנטי בזמן, כלומר [math]\displaystyle{ \mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2) }[/math].
• חבורת לי: חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה [math]\displaystyle{ g }[/math] תלוי ב־[math]\displaystyle{ n }[/math] פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) [math]\displaystyle{ g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n) }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n) }[/math] פונקציה חלקה לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] ואם [math]\displaystyle{ \Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n) }[/math] פונקציה חלקה לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]. [math]\displaystyle{ n }[/math] ייקרא המימד של החבורה.
• משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, [math]\displaystyle{ g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha) }[/math] לכל איבר [math]\displaystyle{ g }[/math] במשפחה ו־[math]\displaystyle{ r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta) }[/math].
• האלגברה של חבורות לי: תהי [math]\displaystyle{ \mathcal G }[/math] חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית [math]\displaystyle{ R_i[\mathbb R] }[/math]. איבר היחידה הוא [math]\displaystyle{ R_i(0) }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m} }[/math] אז [math]\displaystyle{ G_i }[/math] היא הנגזרת רכיב־רכיב של [math]\displaystyle{ R_i }[/math], ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של [math]\displaystyle{ \mathcal G }[/math]" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות [math]\displaystyle{ G_i }[/math] נקראת האלגברה של [math]\displaystyle{ \mathcal G }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb R }[/math] אז [math]\displaystyle{ aG_i+bG_j }[/math] שייכת לאלגברה.
• מפה אקספוננציאלית: בכל משפחה חד־פרמטרית [math]\displaystyle{ R_i[\mathbb R] }[/math] כל איבר [math]\displaystyle{ R_i(\alpha) }[/math] שווה ל־[math]\displaystyle{ \left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. כמו כן, [math]\displaystyle{ R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!} }[/math].
• משפט נתר: נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר [math]\displaystyle{ s\in\mathbb R }[/math] כלשהו, כאשר [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.} }[/math].
  • הכללה: נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־[math]\displaystyle{ \vec\varepsilon }[/math] עבור טרנספורמציה [math]\displaystyle{ t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \varepsilon_r }[/math] משתנים בלתי תלויים ו־[math]\displaystyle{ T_r,Q_{ir} }[/math] פונקציות של [math]\displaystyle{ \vec q,\dot\vec q,t }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.} }[/math]. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של [math]\displaystyle{ \varepsilon_r }[/math] כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
• שיווי משקל מתקיים בנקודות [math]\displaystyle{ \vec r_0 }[/math] שבהן [math]\displaystyle{ \nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \vec r_0 }[/math] מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של [math]\displaystyle{ \vec r_0 }[/math] שבה [math]\displaystyle{ U_\vec r }[/math] פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.
• אם המסה קבועה אז [math]\displaystyle{ \vec F=m\ddot\vec r=-\nabla U_\vec r }[/math] ולכן למציאת נקודות שיווי משקל מספיק למצוא מתי [math]\displaystyle{ \ddot\vec r=\vec 0 }[/math]. במקרה החד־מימדי נפתח את [math]\displaystyle{ U_x }[/math] לטור טיילור סביב נקודת שיווי משקל [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ונרצה למצוא את תדירות התנודות הקטנות סביבה. [math]\displaystyle{ U_x(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{U_x^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i }[/math] ובגלל שהתנודות קטנות נסכים שחזקות גדולות מ־1 של [math]\displaystyle{ x-x_0 }[/math] זניחות, כלומר נקרב [math]\displaystyle{ U_x(x)\approx U_x(x_0)+U_x'(x_0)(x-x_0) }[/math]. לכן נסמן [math]\displaystyle{ c=U_x'(x_0) }[/math] ואז [math]\displaystyle{ m\ddot x\approx -c(x-x_0) }[/math]. נקודת שיווי המשקל היא איפוא לא יציבה אם [math]\displaystyle{ c\lt 0 }[/math] ואז תדירות התנודות הקטנות היא [math]\displaystyle{ \omega=\sqrt\frac{-c}m }[/math]. אם [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] אז היא יציבה ו־[math]\displaystyle{ \omega=\sqrt\frac cm }[/math], ואם [math]\displaystyle{ c=0 }[/math] אז זו נקודת שיווי משקל מסתגלת.

מכניקת הקוונטים

הקדמה מתמטית

בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־[math]\displaystyle{ |u\rangle }[/math], אופרטורים ומטריצות כ־[math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math], צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור [math]\displaystyle{ \mathbf A^\dagger }[/math], צמוד של סקלר [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] בתור [math]\displaystyle{ \lambda^* }[/math], צמוד של וקטור [math]\displaystyle{ |v\rangle^\dagger=\langle v| }[/math] ומכפלה סקלרית בתור [math]\displaystyle{ |v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle }[/math].

• מרחב הילברט: מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] עם מכפלה פנימית [math]\displaystyle{ \langle v|u\rangle }[/math] כך שהמרחב שלם. כלומר:

[math]\displaystyle{ \langle u|u\rangle\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ |u\rangle }[/math] ושיוויון מתקיים אם״ם [math]\displaystyle{ |u\rangle=0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^* }[/math].

המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר [math]\displaystyle{ \forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle }[/math].

עבור [math]\displaystyle{ \Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle} }[/math], לכל סדרה [math]\displaystyle{ \{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ \lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0 }[/math] (סדרת קושי) קיים [math]\displaystyle{ |v\rangle }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ |v_n\rangle\to|v\rangle }[/math].

• אופרטור לינארי במרחב הילברט [math]\displaystyle{ \mathcal H }[/math] הוא העתקה לינארית [math]\displaystyle{ \mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H }[/math]. פעולת האופרטור על [math]\displaystyle{ |u\rangle }[/math] תסומן בצורות [math]\displaystyle{ \mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle }[/math].
• אופרטור הרמטי: אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle }[/math]. באופן שקול: [math]\displaystyle{ \mathbf A^\dagger=\mathbf A }[/math].
• הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
• מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
• אופרטור אוניטרי: אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ \mathbf U }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle }[/math]. באופן שקול: [math]\displaystyle{ \mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I }[/math].
• הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
• אופרטור הטלה: אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ \mathbf P }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \mathbf P^2=\mathbf P }[/math].
• הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
• מכפלה חיצונית: אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ |u\rangle\langle v| }[/math]. לכל וקטור [math]\displaystyle{ |w\rangle }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle }[/math].
• הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
• המשפט הספקטרלי במימד סופי: אם [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] אופרטור הרמטי ממימד סופי [math]\displaystyle{ d }[/math] עם ע״ע [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] וו״ע מנורמלים מתאימים [math]\displaystyle{ |v_i\rangle }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ i\in\{1,\dots,d\} }[/math]) אזי [math]\displaystyle{ \mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i| }[/math].
• קומוטטור של אופרטורים הוא [math]\displaystyle{ [\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A }[/math].
• תכונות של קומוטטורים:
  • אנטי־קומוטטיביות: [math]\displaystyle{ [\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A] }[/math].
  • זהות יעקובי: [math]\displaystyle{ [[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ \mathbf A,\mathbf B }[/math] אופרטורים הרמטיים אז [math]\displaystyle{ [\mathbf A,\mathbf B] }[/math] הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר [math]\displaystyle{ [\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B] }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \mathrm i[\mathbf A,\mathbf B] }[/math] הרמטי.
• יהיו [math]\displaystyle{ \mathbf A,\mathbf B }[/math] מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות ([math]\displaystyle{ [\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O }[/math]) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של [math]\displaystyle{ \mathbf A,\mathbf B }[/math], כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math]פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר [math]\displaystyle{ f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n }[/math] (ובאופן דומה אם לפיתוח של [math]\displaystyle{ f }[/math] יש חזקות שליליות).
• לכל אופרטור הרמטי [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] ממימד סופי [math]\displaystyle{ d }[/math] עם ע״ע [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] וו״ע מנורמלים [math]\displaystyle{ |v_i\rangle }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ i\in\{1,\dots,d\} }[/math]) , אם [math]\displaystyle{ f(\mathbf A) }[/math] מוגדרת אז היא שווה ל־[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i| }[/math].
• מרחב [math]\displaystyle{ L^2(\mathbb R) }[/math]: מרחב הפונקציות [math]\displaystyle{ \varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\} }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx }[/math] מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית [math]\displaystyle{ \langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx }[/math]. זה מרחב הילברט.
• מרחב [math]\displaystyle{ L^2\!\left(\mathbb R^3\right) }[/math]: כמו [math]\displaystyle{ L^2(\mathbb R) }[/math], אלא שהפונקציות הן [math]\displaystyle{ \mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz }[/math]. זה מרחב הילברט.
• אופרטור [math]\displaystyle{ x }[/math]: אופרטור המסומן [math]\displaystyle{ x }[/math] עבורו לכל [math]\displaystyle{ |\varphi\rangle }[/math], [math]\displaystyle{ x|\varphi\rangle }[/math] היא פונקציה [math]\displaystyle{ \mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx }[/math], ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־[math]\displaystyle{ L^2 }[/math]. זה אופרטור הרמטי.
• אופרטור הגזירה: אופרטור [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle }[/math]. הוא אינו מוגדר בחלק מ־[math]\displaystyle{ L^2 }[/math]. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
• [math]\displaystyle{ \left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i }[/math].
• פונקציית הדלתא של דיראק: [math]\displaystyle{ \delta }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ \delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases} }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1 }[/math]. היא מקיימת [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־0.
• [math]\displaystyle{ x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0) }[/math].

פיזיקה

• מצב של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא מרחב המצבים. שני מצבים ייחשבו בלתי נבדלים פיזיקלית אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
• סופרפוזיציה: מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
• התפתחות בזמן: אם [math]\displaystyle{ |v(t)\rangle }[/math] מתאר מצב בזמן [math]\displaystyle{ t }[/math] אז לכל שני זמנים [math]\displaystyle{ t_1,t_2 }[/math] קיים אופרטור אוניטרי [math]\displaystyle{ \mathbf U(t_1,t_2) }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ |v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle }[/math].
• אקסיומת המדידה: לכל גודל מדיד פיזיקלית [math]\displaystyle{ A' }[/math] מתאים אופרטור הרמטי [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math]. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math]. אם תוצאת מדידה הייתה [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה [math]\displaystyle{ |\psi\rangle }[/math] אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־[math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. כלומר, אם ל־[math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] יש ריבוי [math]\displaystyle{ n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n }[/math] הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא [math]\displaystyle{ P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}| }[/math], ומצב המערכת לאחר המדידה הוא [math]\displaystyle{ |\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle }[/math] (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] במדידה היא [math]\displaystyle{ \Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle }[/math]. שינוי זה במצב נקרא קריסת פונקציית/וקטור הגל.
  • מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע [math]\displaystyle{ |v_i\rangle }[/math] מנורמל אז [math]\displaystyle{ \Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ |\psi'\rangle=|v_i\rangle }[/math].
• ערך התצפית הוא תוחלת תוצאת המדידה של [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ \langle\mathbf A\rangle }[/math] או [math]\displaystyle{ \langle\mathbf A\rangle_\psi }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ |\psi\rangle }[/math] המצב לפני המדידה. אזי [math]\displaystyle{ \langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle }[/math].
• אם שני אופרטורים הרמטיים [math]\displaystyle{ \mathbf A,\mathbf B }[/math] קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של [math]\displaystyle{ A' }[/math] לפי תוצאת מדידה [math]\displaystyle{ B' }[/math]. לכן גם מדידה לפי [math]\displaystyle{ \mathbf B }[/math] לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math]. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
• בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, [math]\displaystyle{ \varphi\in L^2 }[/math]. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
• אופרטור המיקום של חלקיק בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־[math]\displaystyle{ x }[/math]. באופן דומה מגדירים אופרטורים [math]\displaystyle{ y,z }[/math].
• מתקיים [math]\displaystyle{ [x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O }[/math].
• [math]\displaystyle{ x\mapsto\delta(x-x_0) }[/math] היא פונקציה עצמית של האופרטור [math]\displaystyle{ x }[/math] עם ע״ע [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. לכן נסמן [math]\displaystyle{ |x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle }[/math].
• פונקציית גל [math]\displaystyle{ \psi }[/math] של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא [math]\displaystyle{ f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2 }[/math]. לכן ההסתברות למצוא את [math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] היא [math]\displaystyle{ \Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx }[/math]. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־[math]\displaystyle{ \mathbb R^3 }[/math].
• אופרטור התנע בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x} }[/math]. באופן דומה מגדירים [math]\displaystyle{ p_y,p_z }[/math]. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא [math]\displaystyle{ \mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla }[/math].
• [math]\displaystyle{ |k\rangle }[/math] היא הפונקציה [math]\displaystyle{ x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi} }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ \psi }[/math] פונקציה עצמית של [math]\displaystyle{ p_x }[/math] עם ע״ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] אז [math]\displaystyle{ |\psi\rangle=|k\rangle }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k=\lambda/\hbar }[/math].
• צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] היא [math]\displaystyle{ f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2 }[/math]. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של [math]\displaystyle{ \psi }[/math].
• מתקיים [math]\displaystyle{ [x,p_x]=\mathrm i\hbar }[/math].
• מתקיים [math]\displaystyle{ [x,p_y]=\mathbf O }[/math].
• עקרון האי־ודאות: [math]\displaystyle{ \operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4 }[/math] לכל שני אופרטורים הרמטיים [math]\displaystyle{ \mathbf A,\mathbf B }[/math]. באופן שקול, [math]\displaystyle{ \left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2 }[/math].
• משוואת שרדינגר (התלויה בזמן): [math]\displaystyle{ \mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t) }[/math] כאשר לכל [math]\displaystyle{ t }[/math], [math]\displaystyle{ \psi(\cdot,t) }[/math] היא פונקציה [math]\displaystyle{ \mathbb R^3\to\mathbb C }[/math] ב־[math]\displaystyle{ L^2\!\left(\mathbb R^3\right) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \mathcal H }[/math] הוא אופרטור הרמטי המכונה ההמילטוניאן הקוונטי, והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא [math]\displaystyle{ \frac{p^2}{2m}+U_x(x) }[/math] ולכן אם נחליף את [math]\displaystyle{ p }[/math] ב־[math]\displaystyle{ p_x }[/math] נקבל המילטוניאן קוונטי [math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x) }[/math], ובמספר מימדים [math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r) }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ |\varphi\rangle }[/math] מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע [math]\displaystyle{ E }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right) }[/math]. לכן אם [math]\displaystyle{ \{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k }[/math] אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה [math]\displaystyle{ \psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right) }[/math]. לפיכך מתקיימת משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן: [math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t) }[/math]. הערכים של [math]\displaystyle{ E }[/math] עבורם יש פתרון [math]\displaystyle{ \forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2 }[/math] נקראים ערכי האנרגיה המותרים, והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי.
• תנע זוויתי: בפיזיקה הקלאסית [math]\displaystyle{ \vec L=\vec r\times\vec p }[/math]. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא [math]\displaystyle{ L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x }[/math], וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר [math]\displaystyle{ r_i,p_i }[/math] אופרטורי המיקום והתנע.
• אם [math]\displaystyle{ \hat\mathbf n }[/math] וקטור יחידה אז [math]\displaystyle{ \exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z)) }[/math] הוא סיבוב בזווית [math]\displaystyle{ \theta }[/math] סביב הציר [math]\displaystyle{ \hat\mathbf n }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ L_x,L_y,L_z }[/math] הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, [math]\displaystyle{ \mbox{SO}(3) }[/math].
• [math]\displaystyle{ [L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y }[/math].
• הצגה של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה [math]\displaystyle{ G }[/math] שהן פונקציות [math]\displaystyle{ \varphi:G\to\mathbb C^{n\times n} }[/math] הפיכות המקיימות [math]\displaystyle{ \forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2) }[/math]. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי [math]\displaystyle{ A }[/math] היא [math]\displaystyle{ \varphi:A\to\mathbb C^{n\times n} }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ \forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)] }[/math].
• הצגה פריקה: הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix} }[/math].
• אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע: [math]\displaystyle{ L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2 }[/math]. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
• [math]\displaystyle{ [L_i,L^2]=\mathbf O }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i\in\{x,y,z\} }[/math]. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של [math]\displaystyle{ L_z,L^2 }[/math], ונסמנם [math]\displaystyle{ |l,m\rangle }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle }[/math].
• משפט הצגות התנע הזוויתי: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י [math]\displaystyle{ L_x,L_y,L_z }[/math]. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים [math]\displaystyle{ L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ l=\frac{n-1}2 }[/math]. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו [math]\displaystyle{ \{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle }[/math].
• אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי: [math]\displaystyle{ L_+:=L_x+\mathrm iL_y }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L_-:=L_x-\mathrm iL_y }[/math].
• תכונות של [math]\displaystyle{ L_+,L_- }[/math]:
  • [math]\displaystyle{ [L_\pm,L^2]=\mathbf O }[/math].
  • [math]\displaystyle{ L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z }[/math].
  • [math]\displaystyle{ [L_z,L_\pm]=\pm L_\pm }[/math].

תורת היחסות הפרטית

• במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math] כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם [math]\displaystyle{ |\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1| }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן [math]\displaystyle{ t }[/math] אז עבור צופה מהצד עם זמן [math]\displaystyle{ t' }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'| }[/math]. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.
• המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים ([math]\displaystyle{ \vec r=\mathbf R\vec r\,' }[/math]), הזזות קבועות במיקום ([math]\displaystyle{ \vec r=\vec r\,'+\vec r_0 }[/math]) והזזות קבועות בזמן ([math]\displaystyle{ t=t'+t_0 }[/math]).
• נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] וציר הזמן [math]\displaystyle{ t }[/math]. נגדיר קואורדינטה חדשה [math]\displaystyle{ T=ct }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ \vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix} }[/math].
• הנורמה של המרחב היא [math]\displaystyle{ s^2=T^2-x^2 }[/math], אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
• המטריקה של המרחב היא [math]\displaystyle{ \eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} }[/math], אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת [math]\displaystyle{ s^2=\vec R^\top\eta\vec R }[/math].
• עבור [math]\displaystyle{ u }[/math] נתון, [math]\displaystyle{ \Lambda=\Lambda(u) }[/math] היא המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix} }[/math]. קבוצת המטריצות הללו מסומנת [math]\displaystyle{ \mbox{SO}(1,1) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2) }[/math]. בפרט [math]\displaystyle{ \Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \Lambda^\top\eta\Lambda=\eta }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ S' }[/math] נעה במהירות קבועה ביחס ל־[math]\displaystyle{ S }[/math] אז [math]\displaystyle{ \vec R=\Lambda\vec R\,' }[/math] ו־[math]\displaystyle{ s^2=(s')^2 }[/math].
• נגדיר [math]\displaystyle{ \beta=\tanh(u) }[/math].
• פקטור לורנץ: [math]\displaystyle{ \gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2} }[/math].
• [math]\displaystyle{ \Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix} }[/math].
• קו עולם של גוף הוא אוסף הנקודות [math]\displaystyle{ \vec R }[/math] של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
• נניח ש־[math]\displaystyle{ S' }[/math] מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־[math]\displaystyle{ S }[/math]. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות [math]\displaystyle{ \vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix} }[/math]. קו העולם של [math]\displaystyle{ S }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix} }[/math]. כלומר, אם צופה ב־[math]\displaystyle{ S' }[/math] מודד זמן של [math]\displaystyle{ T' }[/math], צופה ב־[math]\displaystyle{ S }[/math] יימדוד את הזמן כ־[math]\displaystyle{ T=\gamma T' }[/math] (השעון של [math]\displaystyle{ S' }[/math] נע לאט יותר משל [math]\displaystyle{ S }[/math]) ואת מיקום [math]\displaystyle{ S' }[/math] כ־[math]\displaystyle{ \gamma\beta T' }[/math]. המהירות של [math]\displaystyle{ S' }[/math] יחסית ל־[math]\displaystyle{ S }[/math] היא אם כן [math]\displaystyle{ v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta }[/math] (ולכן גם [math]\displaystyle{ \beta=\frac vc }[/math]). לפי [math]\displaystyle{ T=\gamma T' }[/math] נובע [math]\displaystyle{ x=\beta T }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ S' }[/math] נעה ביחס ל־[math]\displaystyle{ S }[/math] במהירות [math]\displaystyle{ \beta }[/math] ממהירות האור.
• טרנספורמציית לורנץ: בהנתן מאורע [math]\displaystyle{ e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix} }[/math] מנקודת המבט של צופה ב־[math]\displaystyle{ S' }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ e=\Lambda e' }[/math] מנקודת המבט של צופה ב־[math]\displaystyle{ S }[/math].
• התארכות הזמן: שני אירועים מתרחשים בנקודה [math]\displaystyle{ x'=0 }[/math] עבור צופה נע [math]\displaystyle{ S' }[/math]: [math]\displaystyle{ e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix} }[/math] (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא [math]\displaystyle{ T_2'-T_1' }[/math]). עבור צופה במערכת [math]\displaystyle{ S }[/math] המאורעות יתוארו כ־[math]\displaystyle{ e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix} }[/math], ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא [math]\displaystyle{ \gamma(T_2'-T_1') }[/math], כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).
• התכווצות האורך: מוט מונח במערכת [math]\displaystyle{ S' }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,l'] }[/math] ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות [math]\displaystyle{ e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix} }[/math]. נעביר אותם למערכת [math]\displaystyle{ S }[/math] ואז [math]\displaystyle{ e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix} }[/math]. בזמן [math]\displaystyle{ T=0 }[/math] נקבל בכל קצה [math]\displaystyle{ T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l' }[/math]. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת [math]\displaystyle{ S }[/math] הוא [math]\displaystyle{ l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l' }[/math]. מנקודת המבט של [math]\displaystyle{ S' }[/math], הצופה ב־[math]\displaystyle{ S }[/math] מדד את קצות המוט בזמנים שונים.
• חיבור מהירויות: נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] ביחס לצופה 2, שנע במהירות [math]\displaystyle{ v_2 }[/math] ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות [math]\displaystyle{ v_3 }[/math] ביחס לצופה 3. נסמן [math]\displaystyle{ \beta_i=\frac{v_i}c }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2} }[/math]. נשים לב שאם [math]\displaystyle{ \beta_1=1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \beta_3=1 }[/math], כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה.
• מרחב מינקובסקי: מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא [math]\displaystyle{ \eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} }[/math]. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על [math]\displaystyle{ \eta }[/math]. היא מסומנת [math]\displaystyle{ \mbox{SO}(3,1) }[/math] ויש לה 6 יוצרים:

סיבובים בשני מימדים. למשל, [math]\displaystyle{ \mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} }[/math] היא מטריצת סיבוב במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math], ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים [math]\displaystyle{ yz,xz }[/math].

מטריצות boost. למשל, [math]\displaystyle{ \Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix} }[/math] היא סיבוב מוכלל במישור [math]\displaystyle{ xT }[/math], ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים [math]\displaystyle{ yT,zT }[/math].

דוגמאות חשובות

• מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
  • חוק הוק: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה [math]\displaystyle{ \vec r_0 }[/math] במצב רפוי ובנקודה [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי [math]\displaystyle{ \vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math] הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־[math]\displaystyle{ \Delta l }[/math] התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
    • אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] בלבד וש־[math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math] היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] על הגוף תהא [math]\displaystyle{ F_x=-kx=m\ddot x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x(t)=A\sin(\omega t+\phi) }[/math] כש־[math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף, [math]\displaystyle{ \omega=\sqrt\frac km }[/math] היא התדירות הזוויתית, ו־[math]\displaystyle{ A }[/math] היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
      נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא [math]\displaystyle{ U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2 }[/math].
• מטוטלת מתמטית: חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל כוח מתיחות [math]\displaystyle{ \vec T=-T\hat\mathbf n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \hat\mathbf n }[/math] וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־[math]\displaystyle{ T }[/math] גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
  אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא [math]\displaystyle{ \frac{mR^2\dot\theta^2}2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ R }[/math] אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא [math]\displaystyle{ -mgR\cos(\theta) }[/math]. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא [math]\displaystyle{ \frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta) }[/math] ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת [math]\displaystyle{ mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0 }[/math].
• כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח נורמלי [math]\displaystyle{ \vec N }[/math] על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
• כוח חיכוך:

• חיכוך סטטי מתקיים כשאין תנועה. מקדם החיכוך הסטטי של חומר מסומן [math]\displaystyle{ \mu_s }[/math] ומקיים [math]\displaystyle{ \vec f^s\le\mu_s\vec N }[/math] כש־[math]\displaystyle{ \vec f^s }[/math] כוח החיכוך הסטטי ו־[math]\displaystyle{ \vec N }[/math] הכוח הנורמלי.
• חיכוך קינטי מתקיים כשיש תנועה. מקדם החיכוך הקינטי של חומר מסומן [math]\displaystyle{ \mu_k }[/math] ומקיים [math]\displaystyle{ \vec f^k=\mu_k\vec N }[/math] כש־[math]\displaystyle{ \vec f^k }[/math] כוח החיכוך הקינטי ו־[math]\displaystyle{ \vec N }[/math] הכוח הנורמלי.
• בקורס זה כל חומר מקיים [math]\displaystyle{ \mu_k\lt \mu_s }[/math].

• החוק הרביעי של ניוטון: בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 כוח כבידה משמר [math]\displaystyle{ \vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3} }[/math].
  אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא [math]\displaystyle{ U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|} }[/math].
  • כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה [math]\displaystyle{ -mg\hat\mathbf z }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף ו־[math]\displaystyle{ \hat\mathbf z }[/math] וקטור יחידה בכיוון מעלה.
    אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז [math]\displaystyle{ U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz }[/math].
• כוח מרכזי: כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
• התנגשות פלסטית: הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
• התנגשות אלסטית: הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא [math]\displaystyle{ \vec v_i }[/math] ואחריה [math]\displaystyle{ \vec u_i }[/math]. אזי משימור התנע מקבלים [math]\displaystyle{ m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2 }[/math]. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע [math]\displaystyle{ v_1+u_1=v_2+u_2 }[/math], ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
• אורך המסלול שעבר גוף הוא [math]\displaystyle{ s=\int v\mathrm dt }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \mathrm dt=\mathrm ds/v }[/math], עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
• בור פוטנציאל אינסופי: במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־[math]\displaystyle{ x\in(0,a) }[/math] ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה [math]\displaystyle{ \psi }[/math] עצמית מתאפסת לכל [math]\displaystyle{ x\notin(0,a) }[/math], ובאותו אופן מראים שהיא שווה ל־[math]\displaystyle{ \sqrt\frac2a\sin(kx) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,a) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2} }[/math] כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־[math]\displaystyle{ k=\frac{\pi n}a }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] כלשהו. לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם [math]\displaystyle{ E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
• בור פוטנציאל סופי: במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־[math]\displaystyle{ x\in(-a,a) }[/math] ושווה ל־[math]\displaystyle{ V }[/math] בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע [math]\displaystyle{ (-a,a) }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ E\lt V }[/math] אז בקטע [math]\displaystyle{ (-\infty,a) }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2} }[/math]. מהתנאי [math]\displaystyle{ \psi\in L^2 }[/math] נובע [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ C_4=0 }[/math], ובאותו אופן [math]\displaystyle{ \psi=C_5\exp(-\alpha x) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (a,\infty) }[/math]. לבסוף, נדרוש ש־[math]\displaystyle{ \psi }[/math] גזירה ברציפות לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־[math]\displaystyle{ \psi\equiv0 }[/math], אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0 }[/math]. רק ערכי [math]\displaystyle{ E }[/math] הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את [math]\displaystyle{ \psi }[/math].