קוד:פונקציות רציפות הפיכות: הבדלים בין גרסאות בדף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
\begin{definition} | \begin{definition} | ||
פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ . הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ . במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $ | \begin{enumerate} | ||
\item פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ . | |||
\item הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ . | |||
\item במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $ | |||
\end{enumerate} | |||
\end{definition} | \end{definition} | ||
שורה 9: | שורה 13: | ||
סימון: כאשר נסמן $<a,b> $ הכוונה היא לאחת מהאפשרויות $[a,b) , (a,b] , [a,b] , (a,b) $ (כל אחת תתאים). | סימון: כאשר נסמן $<a,b> $ הכוונה היא לאחת מהאפשרויות $[a,b) , (a,b] , [a,b] , (a,b) $ (כל אחת תתאים). | ||
\begin{ | \begin{thm} | ||
נניח ש- $f:<a,b>\to \mathbb{R} $ רציפה אזי $f$ חח"ע אם ורק אם f מונוטונית עולה ממש או מונוטונית יורדת ממש. | נניח ש- $f:<a,b>\to \mathbb{R} $ רציפה אזי $f$ חח"ע אם ורק אם f מונוטונית עולה ממש או מונוטונית יורדת ממש. | ||
\end{ | \end{thm} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
שורה 19: | שורה 23: | ||
\boxed{\Leftarrow} | \boxed{\Leftarrow} | ||
נניח $f$ לא מונוטונית ממש, ולכן $\exists x_1 <x_2 : f(x_1)\leq f(x_2) , \exists x_3<x_4 f(x_3)\geq f(x_4) $ (כך לא מונוטונית יורדת ולא מונוטונית עולה) . לכן $\exists \alpha, \beta,\gamma \in \{x_1,x_2,x_3,x_4\}: \alpha<\beta<\gamma \land f(\beta)\geq f(\alpha),f(\gamma) $ ואם נניח בה"כ ש- $f(\alpha)<f(\gamma) $ אזי נזכור ש- $f$ רציפה ועבור $t\in (f(\gamma),f(\beta)) $ לפי משפט ערך הביניים $\exists c_1 \in [\alpha ,\beta] : f(c_1)=t , \exists c_2\in [\beta,\gamma] : f(c_2)=t $ ומכאן ש- $f$ אינה חח"ע. | נניח $f$ לא מונוטונית ממש, ולכן | ||
$$\exists x_1 <x_2 : f(x_1)\leq f(x_2) , \exists x_3<x_4 f(x_3)\geq f(x_4) $$ | |||
(כך לא מונוטונית יורדת ולא מונוטונית עולה) . לכן | |||
$$\exists \alpha, \beta,\gamma \in \{x_1,x_2,x_3,x_4\}: \alpha<\beta<\gamma \land f(\beta)\geq f(\alpha),f(\gamma) $$ | |||
ואם נניח בה"כ ש- $f(\alpha)<f(\gamma) $ אזי נזכור ש- $f$ רציפה ועבור $t\in (f(\gamma),f(\beta)) $ לפי משפט ערך הביניים $\exists c_1 \in [\alpha ,\beta] : f(c_1)=t , \exists c_2\in [\beta,\gamma] : f(c_2)=t $ ומכאן ש- $f$ אינה חח"ע. | |||
\end{proof} | \end{proof} | ||
שורה 26: | שורה 34: | ||
תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע ומונוטונית ממש בו. ממשפט וויירשטראס ניתן להגדיר $d=\sup f , c=\inf f $ סופיים ואז אפשר לצמצם את טווח הפונקציה מכל $\mathbb R $ אל $[c,d] $ . כעת מהמשפט השני של וויירשטראס $f$ מקבלת את הערכים האלו ולכן $c,d\in \operatorname{Im} f $ וממשפט ערך הביניים נסיק כי $f:[a,b]\to [c,d] $ פונקציה על וכיוון שהיא גם מונוטונית ממש אז היא חח"ע ואז הפיכה. כעת אפשר לדבר על $f^{-1} $ במקרה הזה. | תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע ומונוטונית ממש בו. ממשפט וויירשטראס ניתן להגדיר $d=\sup f , c=\inf f $ סופיים ואז אפשר לצמצם את טווח הפונקציה מכל $\mathbb R $ אל $[c,d] $ . כעת מהמשפט השני של וויירשטראס $f$ מקבלת את הערכים האלו ולכן $c,d\in \operatorname{Im} f $ וממשפט ערך הביניים נסיק כי $f:[a,b]\to [c,d] $ פונקציה על וכיוון שהיא גם מונוטונית ממש אז היא חח"ע ואז הפיכה. כעת אפשר לדבר על $f^{-1} $ במקרה הזה. | ||
\begin{ | \begin{thm} | ||
באותם התנאים של ההבחנה הקודמת, הפונקציה $f^{-1} : [c,d]\to [a,b] $ רציפה ומונוטונית ממש . | באותם התנאים של ההבחנה הקודמת, הפונקציה $f^{-1} : [c,d]\to [a,b] $ רציפה ומונוטונית ממש . | ||
\end{ | \end{thm} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
מספיק להראות עבור $f$ מונוטונית עולה ממש ועבור יורדת ממש נוכיח באופן אנלוגי. יהיו $y_1<y_2 \in [c,d] $ ונראה כי $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) $ משום שאחרת מזה ש- $f$ מונוטונית עולה ממש נקבל ש- $y_1=f(f^{-1}(y_1))\geq f(f^{-1} (y_2))=y_2 $ בסתירה לכך ש- $y_1>y_2 $ . כעת בתור פונקציה מונוטונית עולה ממש, ובפרט מונוטונית, נק' אי הרציפות של הפונקציה הם רק מסדר ראשון. נניח $y_0 $ נק' אי רציפות מסדר ראשון ואז $\lim_{y\to y_0^-} f^{-1} (y) < f(y_0) $ ואם נסתכל על $x\in (\lim_{y\to y_0^-} f(y) , f(y_0)) $ נראה שאין לו מקור משום שהפונקציה מונוטונית עולה ממש, בסתירה להגדרה של פונקציה הפוכה! | מספיק להראות עבור $f$ מונוטונית עולה ממש ועבור יורדת ממש נוכיח באופן אנלוגי.\\ | ||
יהיו $y_1<y_2 \in [c,d] $ ונראה כי $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) $ משום שאחרת מזה ש- $f$ מונוטונית עולה ממש נקבל ש- $y_1=f(f^{-1}(y_1))\geq f(f^{-1} (y_2))=y_2 $ בסתירה לכך ש- $y_1>y_2 $ .\\ | |||
כעת בתור פונקציה מונוטונית עולה ממש, ובפרט מונוטונית, נק' אי הרציפות של הפונקציה הם רק מסדר ראשון. נניח $y_0 $ נק' אי רציפות מסדר ראשון ואז\\ | |||
$\lim_{y\to y_0^-} f^{-1} (y) < f(y_0) $ ואם נסתכל על $x\in (\lim_{y\to y_0^-} f(y) , f(y_0)) $ נראה שאין לו מקור משום שהפונקציה מונוטונית עולה ממש, בסתירה להגדרה של פונקציה הפוכה! | |||
\end{proof} | \end{proof} |
גרסה מ־17:17, 23 בספטמבר 2014
\begin{definition} \begin{enumerate} \item פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ . \item הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ . \item במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $ \end{enumerate} \end{definition}
\begin{definition} פונקציה $f:A\to \mathbb{R} $ נקראת מונוטונית עולה ממש אם $\forall x<y : f(x)<f(y) $ ובאופן אנלוגי מונוטוני יורדת ממש. \end{definition}
סימון: כאשר נסמן $<a,b> $ הכוונה היא לאחת מהאפשרויות $[a,b) , (a,b] , [a,b] , (a,b) $ (כל אחת תתאים).
\begin{thm} נניח ש- $f:<a,b>\to \mathbb{R} $ רציפה אזי $f$ חח"ע אם ורק אם f מונוטונית עולה ממש או מונוטונית יורדת ממש. \end{thm}
\begin{proof}
\boxed{\Rightarrow} טריוויאלי מההגדרה
\boxed{\Leftarrow} נניח $f$ לא מונוטונית ממש, ולכן $$\exists x_1 <x_2 : f(x_1)\leq f(x_2) , \exists x_3<x_4 f(x_3)\geq f(x_4) $$ (כך לא מונוטונית יורדת ולא מונוטונית עולה) . לכן $$\exists \alpha, \beta,\gamma \in \{x_1,x_2,x_3,x_4\}: \alpha<\beta<\gamma \land f(\beta)\geq f(\alpha),f(\gamma) $$ ואם נניח בה"כ ש- $f(\alpha)<f(\gamma) $ אזי נזכור ש- $f$ רציפה ועבור $t\in (f(\gamma),f(\beta)) $ לפי משפט ערך הביניים $\exists c_1 \in [\alpha ,\beta] : f(c_1)=t , \exists c_2\in [\beta,\gamma] : f(c_2)=t $ ומכאן ש- $f$ אינה חח"ע. \end{proof}
הבחנה:
תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע ומונוטונית ממש בו. ממשפט וויירשטראס ניתן להגדיר $d=\sup f , c=\inf f $ סופיים ואז אפשר לצמצם את טווח הפונקציה מכל $\mathbb R $ אל $[c,d] $ . כעת מהמשפט השני של וויירשטראס $f$ מקבלת את הערכים האלו ולכן $c,d\in \operatorname{Im} f $ וממשפט ערך הביניים נסיק כי $f:[a,b]\to [c,d] $ פונקציה על וכיוון שהיא גם מונוטונית ממש אז היא חח"ע ואז הפיכה. כעת אפשר לדבר על $f^{-1} $ במקרה הזה.
\begin{thm} באותם התנאים של ההבחנה הקודמת, הפונקציה $f^{-1} : [c,d]\to [a,b] $ רציפה ומונוטונית ממש . \end{thm}
\begin{proof} מספיק להראות עבור $f$ מונוטונית עולה ממש ועבור יורדת ממש נוכיח באופן אנלוגי.\\ יהיו $y_1<y_2 \in [c,d] $ ונראה כי $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) $ משום שאחרת מזה ש- $f$ מונוטונית עולה ממש נקבל ש- $y_1=f(f^{-1}(y_1))\geq f(f^{-1} (y_2))=y_2 $ בסתירה לכך ש- $y_1>y_2 $ .\\ כעת בתור פונקציה מונוטונית עולה ממש, ובפרט מונוטונית, נק' אי הרציפות של הפונקציה הם רק מסדר ראשון. נניח $y_0 $ נק' אי רציפות מסדר ראשון ואז\\ $\lim_{y\to y_0^-} f^{-1} (y) < f(y_0) $ ואם נסתכל על $x\in (\lim_{y\to y_0^-} f(y) , f(y_0)) $ נראה שאין לו מקור משום שהפונקציה מונוטונית עולה ממש, בסתירה להגדרה של פונקציה הפוכה! \end{proof}