קוד:שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה: הבדלים בין גרסאות בדף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן " משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\l...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה | משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה | ||
\begin{proof} | |||
$\boxed{\Leftarrow}$ | $\boxed{\Leftarrow}$ | ||
שורה 12: | שורה 11: | ||
$\boxed{\Rightarrow}$ | $\boxed{\Rightarrow}$ | ||
נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x- | נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L|<\varepsilon $ . זה נכון לכל דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ולכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים $ |x_n-a|<\delta \land |f(x_n)-L|<\varepsilon $ ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $ | ||
\end{proof} |
גרסה מ־11:22, 26 באוגוסט 2014
משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה
\begin{proof}
$\boxed{\Leftarrow}$
תהי סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ . יהי אפסילון גדול מ-0, לפי הגדרת הגבול של קושי, קיים $\delta>0 $ כך שלכל $x$ ש- $0<|x-a|<\delta $ מתקיים ש- $|f(x)-L|<\epsilon $
$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $ ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\epsilon $.
$\boxed{\Rightarrow}$
נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L|<\varepsilon $ . זה נכון לכל דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ולכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים $ |x_n-a|<\delta \land |f(x_n)-L|<\varepsilon $ ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $
\end{proof}