שינויים

האמפליטודה A והפאזה <math>\phi</math> תלויים בתנאי התחלה של המערכת. התנודות העצמיות מתקיימות בתדירות <math></math> ומשרעת משרעת התנודות הולכת וקטנה עם הזמן בהתאם לחוק <math>\exp(t-\delta t) </math> ניתן לראות כי תדר התנודות העצמיות תלוי בכוח המרסן (ככל שהכוח המרסן יגדל, תדר התנודות העצמיות יקטן).עבור מטוטלת מתמטית <math>\omega_0^2= {g \over l}</math> ולכן <math>\Omega ^2 = {g \over l} - \delta ^2</math>, במשרעות קטנות מחזור התנודות העצמיות של המטוטלת אינו תלוי במשרעת. עובדה זו גילה גלילאו הצעיר (1583) כאשר צפה בתנודות של נברשת תחת משבי רוח. מכוון שלא היו אז שעוני עצר הוא השווה את תדירות תנודות הנברשת עם תדירות הדופק שלו. ===תנודות מאולצות=== עתה נתבונן בתנועתו של אותו גוף תחת השפעה של כוח חיצוני מחזורי <math>F_0 \cos \omega t</math>. משוואת התנועה תהיה: <math>m \ddot{x} + { \lambda } \dot{x} + {k } x = F_0 \cos \omega t</math> פתרון כללי של משוואה כזאת הוא סכום הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (כאשר צד ימין של המשוואה שווה לאפס) והפתרון הפרטי של המשוואה הלא הומוגנית הנתונה. את הפתרון של המשוואה ההומוגנית קיבלנו קודם – והוא מתאר תנודות עצמיות דועכות. בפתרון של המשוואה הלא הומוגנית נצא מתוך הנחה שהתנודות מתקיימות בתדירות השווה לזאת של הכוח החיצוני. את הפתרון הפרטי של המשוואה הלא הומוגנית מנחשים בצורה של <math>x=B \sin (\omega t - \psi)</math>. כדי למצוא את הערכים של <math>B</math> ו- <math>\psi</math> נציב את הביטוי הזה במשוואת התנועה ונקבל:<math>B={F_0 \over {\sqrt {m^2( \omega ^2 - \omega_0 ^2)^2+ \lambda^2 \omega^2}}}</math>