הבדלים בין גרסאות בדף "אינפי 1/סדרות מונוטוניות ומעבר גבול"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \section{סדרות מונוטוניות} \begin{definition} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מו...") |
|||
| שורה 40: | שורה 40: | ||
מצאנו שבמקרה שהסדרה מתכנסת, יש רק מועמד אחד שיכול להיות הגבול ( $-1$ נפסל משום שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן לא יכולים להתכנס למספר שלילי). אם נצליח להוכיח שהסדרה מתכנסת, הגבול שלה הוא 2. נוכיח שהיא מונוטונית עולה וחסומה ע"י 2: | מצאנו שבמקרה שהסדרה מתכנסת, יש רק מועמד אחד שיכול להיות הגבול ( $-1$ נפסל משום שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן לא יכולים להתכנס למספר שלילי). אם נצליח להוכיח שהסדרה מתכנסת, הגבול שלה הוא 2. נוכיח שהיא מונוטונית עולה וחסומה ע"י 2: | ||
| + | מונוטונית עולה - | ||
| + | $$ x_n\leq x_{n+1} \Leftrightarrow x_n\leq \sqrt{x_n+2}\Leftrightarrow x_n^2\leq x_n+2\Leftrightarrow -1\leq x_n\leq 2 $$ | ||
| + | כלומר הסדרה לא תרד כל עוד האיברים בין $-1$ ל-2. כל איברי הסדרה חיוביים ועכשיו נוכיח שכל איברי הסדרה לא גדולים מ-2 באמצעות אינדוקציה: | ||
| + | $$ x_1=\sqrt{2}<2 , x_n\leq 2\Rightarrow x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}\leq\sqrt{2+2}=2 $$ | ||
| + | אז כל איברי הסדרה קטנים מ-2 ולכן הסדרה מונוטונית עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת ל-2. (את הגבול חישבנו באמצעות מעבר הגבול) | ||
\end{example} | \end{example} | ||
<tex>קוד:זנב</tex> | <tex>קוד:זנב</tex> | ||
</latex2pdf> | </latex2pdf> | ||
גרסה אחרונה מ־21:32, 15 בנובמבר 2014
